2016　東京理科大学　理学部数理情報学科2月13日実施MathJax

【１】　$\boxed{}$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートにマークせよ．ただし，$\boxed{}$は$2\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数を表すものとする．なお，分数は既約分数（それ以上約分できない分数）の形で表すこと．

　$n$を自然数とする．それぞれに何らかの番号が書かれている$2n$個の玉があり，はじめはすべて$1$つの袋に入っている．そしてその袋から$2$個の玉を同時に取り出すことを$n$回繰り返す．ただし，取り出した玉は袋に戻さないものとする．

　ここで，$n$回とも同時に取り出した$2$個の玉に書かれた番号が一致しない確率を考えよう．$1$から$n$までの番号がそれぞれ$2$個の玉に書かれている場合のこのような確率を$p_n$とする．また，$1$から$n-1$までの番号がそれぞれ$2$個，$n$と$n+1$の番号がそれぞれ$1$個の玉に書かれている場合のこのような確率を$q_n$とする．

(1)　$n=2$のとき，$p_2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\text{，}{q}_2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$である．

(2)　$n=3$のとき，$p_3={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}\text{キ}}}}\text{，}{q}_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$である．

(3)　$n$を$2$以上の自然数とする．

(a)　関数$f(x)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}x+\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}x+\boxed{\text{ス}}}}$に対して，$p_{n+1}=f(n)q_n$が成り立つ．

(b)　関数$g(x)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}x+\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}x+\boxed{\text{チ}}}}\text{，}h(x)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}x+\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}{x}^2+\boxed{\text{ナ}}x+\boxed{\text{ニ}}}}$に対して，$p_{n+2}=g(n)p_{n+1}+h(n)p_n$が成り立つ．

【２】　関数$f(x)=x\sqrt{{\displaystyle \frac{1-x^2}{1+x^2}}}$に対して，次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　左側極限$\underset{h\to -0}{\lim }{\displaystyle \frac{f(1+h)-f(1)}{h}}$を求めよ．

(3)　$f(x)+f(-x)$を求めよ．

(4)　$f^{\prime }(x)=0$となる$x$の値を求めよ．また，そのときの${\{f(x)\}}^2$の値を求めよ．

(5)　関数$y=f(x)$のグラフの概形を描け．

(6)　定積分${\displaystyle {\int }_{-1}^1}f(x)dx$を求めよ．