2016　立命館大　理系学部Ａ方式2月2日実施MathJax

　このとき，この$2$つの円が共有点をもつための必要十分条件は，$t$が

$\boxed{\text{ア}}\leqq t\leqq \boxed{\text{イ}}$

の範囲にあることである．

　まず，共有点が$1$つだけの場合，その共有点の座標と，その点で$2$つの円の両方に接する接線の方程式は，

$(\boxed{\text{ウ}},\boxed{\text{エ}})$と$y=\boxed{\text{オ}}x+\boxed{\text{カ}}$

であるか，

$(\boxed{\text{キ}},\boxed{\text{ク}})$と$y=\boxed{\text{ケ}}x+\boxed{\text{コ}}$

である．

　次に，$2$つの円が異なる$2$つの共有点をもつ場合，$t$の動く範囲は$\boxed{\text{サ}}$であり，このとき，共有点の$y$座標は，

$y_1={\displaystyle \frac{a}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{{\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}{t}^2}{a^2+t^2}}-\boxed{\text{ス}}{t}^2}$

または，

$y_2={\displaystyle \frac{a}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{{\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}{t}^2}{a^2+t^2}}-\boxed{\text{ス}}{t}^2}$

と書ける．このとき，$y_2$の最小値は$\boxed{\text{セ}}$となる．

（注：$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{サ}}$および$\boxed{\text{セ}}$は$a$の式，$\boxed{\text{シ}}\text{，}\boxed{\text{ス}}$は数である．）

$y=\boxed{\text{ツ}}x+\boxed{\text{テ}}$

となる．接線$l_1$は，$b$の値にかかわりなく，常に点$(\boxed{\text{ト}},\boxed{\text{ナ}})$を通る．曲線$C_1$と接線$l_1$および$y$軸で囲まれる図形の面積を$S_1\text{，}$曲線$C_2$と接線$l_1$および$y$軸で囲まれる図形の面積を$S_2$とする．$S_1$と$S_2$を$b$を用いて表すと，$S_1=\boxed{\text{ニ}}\text{，}{S}_2=\boxed{\text{ヌ}}$となり，${\displaystyle \frac{S_1}{S_2}}$は$a\text{，}b$の値にかかわりなく一定となる．

(2)　$c\text{，}d$を正の数とする．$2$つの曲線$C_3\text{：}y=\log {\displaystyle \frac{x}{c}}$と$C_4\text{：}x=d{y}^2$が，ある共有点で共通の接線$l_2$をもつ．このとき$c$を$d$を用いて表すと，$c=\boxed{\text{ネ}}$となる．$C_3$と$C_4$の接点の座標を$d$を用いて表すと$(\boxed{\text{ノ}},\boxed{\text{ハ}})$となる．接線$l_2$は，$d$の値にかかわりなく，常に点$(\boxed{\text{ヒ}},\boxed{\text{フ}})$を通る．

(1)　$a_n={\displaystyle \frac{1}{n^2}}\text{，}{b}_n=2^n$のとき，$c_1={\displaystyle \frac{1}{4}}\text{，}{c}_2={\displaystyle \frac{1}{16}}\text{，}\cdots \text{，}{c}_n=\boxed{\text{ヘ}}$であり，数列$\{c_n\}$の第$1$項から第$n$項までの和は$\boxed{\text{ホ}}$である．

(2)　$a_n={\displaystyle \frac{1}{n}}\text{，}{b}_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{a_k}}$のとき，$c_1=1\text{，}{c}_2={\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}\cdots \text{，}{c}_n=\boxed{\text{マ}}$であり，数列$\{c_n\}$の第$1$項から第$n$項までの和は$\boxed{\text{ミ}}$である．

(3)　$a_n={\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}\text{，}$そして$b_m$を$a_n$が$m$以上になる最小の$n$とする．このとき，$b_1=1\text{，}{b}_2=2\text{，}{b}_3=2\text{，}\cdots \text{，}{b}_{\frac{n(n+1)}{2}}=\boxed{\text{ム}}$であり，$c_1=1\text{，}{c}_2=3\text{，}{c}_3=3\text{，}\cdots \text{，}{c}_{\frac{n(n+1)}{2}+1}=\boxed{\text{メ}}$である．数列$\{b_n\}$の第$1$項から第${\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}$項までの和は$\boxed{\text{モ}}$である．また，数列$\{c_n\}$の第$1$項から第${\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}$項までの和は$\boxed{\text{ヤ}}$である．

（注：$\boxed{\text{ヘ}}\text{〜}\boxed{\text{ヤ}}$は，いずれも$n$の式である．）

(2)　次に，$1$個のサイコロを$n$回続けて投げる場合を考える．$n$回目に初めて$1$の目が出る確率は$\boxed{\text{ラ}}$である．また，$n$回目までに少なくとも$1$回は$1$の目が出る確率は$\boxed{\text{リ}}$である．

(3)　$1$個のサイコロをくり返し投げ，$1$と$6$の両方の目が少なくとも$1$回出た時点で終わるというゲームを考える．このゲームが$n$回目（ただし，$n\geqq 2$）で終わる確率を求めよう．$k$回目に$1$の目または$6$の目が初めて出て，その後で，もう一方の目が$n$回目に初めて出るという確率は，$n$と$k$を使って$\boxed{\text{ル}}$となる．このゲームが$n$回目で終わるとき，$k$のとりうる範囲は$\boxed{\text{レ}}\leqq k\leqq \boxed{\text{ロ}}$であり，この範囲で$\boxed{\text{ル}}$の和をとると，求める確率は$n$を使って$\boxed{\text{ワ}}$と書ける．