2016　立命館大　文系学部Ａ方式2月3日実施MathJax

【１】

(1)　$2$次方程式$x^2+3x-1=0$の解を$\alpha \text{，}\beta \text{（}\alpha >\beta \text{）}$とするとき，$m<\alpha <m+1$を満たす整数$m$の値は$m=\boxed{\text{ア}}\text{，}x<\beta <n+1$を満たす整数$n$の値は$n=\boxed{\text{イ}}$である．

　また，$\alpha +{\displaystyle \frac{1}{\alpha }}$の値は$\boxed{\text{ウ}}$であり，${\alpha }^3+{\displaystyle \frac{1}{{\alpha }^3}}$の値は$\boxed{\text{エ}}$である．

【１】

(2)　$n$を自然数とする．各項が正である数列$\{a_n\}$に対して，$T_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a_k}^2$とおくと，$T_n$は，$T_n={\displaystyle \frac{1}{3}}n(4n^2-1)$を満たしている．このとき，数列$\{a_n\}$について考える．

　$n\geqq 2$のとき，

$T_{n-1}={\displaystyle \frac{1}{3}}(\boxed{\text{オ}}{n}^3-\boxed{\text{カ}}{n}^2+\boxed{\text{キ}}n-\boxed{\text{ク}})$

であるから，

${a_n}^2=\boxed{\text{ケ}}{n}^2-\boxed{\text{コ}}n+\boxed{\text{サ}}\cdots \text{①}$

となる．また，$\text{①}$は$n=1$のときにも成立する．

　よって，数列$\{a_n\}$は，初項$\boxed{\text{シ}}\text{，}$公差$\boxed{\text{ス}}$の等差数列である．

【１】

(3)　直線$l$の方程式を$y=2ax$（ただし，$a>0$）とする．点$\mathrm{P}(1,0)$を頂点とする放物線$C_1$が点$\mathrm{Q}$で$l$に接している．このとき，$C_1$の方程式は$y=\boxed{\text{セ}}$であり，接点$\mathrm{Q}$の座標は$(\boxed{\text{ソ}},\boxed{\text{タ}})$である．

　次に，$x$軸に接する放物線$y=p{(x-q)}^2$を$C_2$とする．$C_2$が点$\mathrm{Q}$を通り，点$\mathrm{Q}$での$C_2$の接線が$l$と直交するとき，点$\mathrm{Q}$における接線の傾きは$\boxed{\text{チ}}$である．このとき，$p\text{，}q$の値は，$p=-{\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ツ}}{a}^3}}\text{，}q=\boxed{\text{テ}}{a}^2-1$である．

　また，放物線$C_1\text{，}x$軸，および直線$x=\boxed{\text{ソ}}$で囲まれた部分の面積を$S_1\text{，}$放物線$C_2\text{，}x$軸，および直線$x=\boxed{\text{ソ}}$で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．$3S_1=S_2$となるのは，$a=\boxed{\text{ト}}$のときである．

【２】　スポーツ選手の運動能力を次のように$3$つの指標を用いて評価する．選手$k$の走力が$x\text{，}$跳躍力が$y\text{，}$投力が$z$であるとき，選手$k$の運動能力を$3$次元のベクトル$\overrightarrow{p_k}=(x,y,z)$を用いて表す．$\overrightarrow{p_k}$の大きさを運動能力の「強さ」，$\overrightarrow{p_k}$の向きを運動能力の「傾向」と定義する．

　次の表は，$a$から$e$までの$5$名の選手の走力，跳躍力，投力を測定した結果を示している．

　なお，以下に記す選手$f$および選手$g$を含め，全選手の走力，跳躍力，投力の数値はすべて正の実数である．次の問いに答えよ．

(1)　$a$から$e$までの$5$名の選手のそれぞれの「強さ」を求めると，その最大値は$\boxed{\text{ア}}$であり，最小値は$\boxed{\text{イ}}$である．

(2)　選手同士の運動能力の「傾向」が類似しているのかどうかを評価する．選手$a$の運動能力$\overrightarrow{p_a}$と選手$b$の運動能力$\overrightarrow{p_b}$のなす角を${\theta }_{ab}$とし，選手$a$と選手$b$の「傾向」の類似度$S_{ab}$を

$S_{ab}=\cos {\theta }_{ab}$

で表す．$S_{ab}$が，$S_{ab}\geqq 0.95$を満たすとき，選手$a$と選手$b$の「傾向」が一致しているという．

　$a$から$d$までの$4$名の選手のなかで，選手$e$と「傾向」が一致しているのは，選手$\boxed{\text{ウ}}$である．

　次に，選手$f$の運動能力が$\overrightarrow{p_f}=(2,5,3)\text{，}$選手$g$の運動能力が$\overrightarrow{p_g}=(x_g,6,6)$である．選手$f$と選手$g$の「傾向」の類似度$S_{fg}$の$2$乗がとりうる値の最大値は，${S_{fg}}^2=\boxed{\text{エ}}$である．このとき，$x_g=\boxed{\text{オ}}\text{，}\left|\overrightarrow{p_g}\right|=\boxed{\text{カ}}$である．

【３】　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の$3$人が次のルールでゲームをする．

　$1$つのさいころを$1$回投げて，出た目が$1$ならば$\mathrm{A}$に$1$点与え，出た目が$2$または$3$ならば$\mathrm{B}$に$1$点を与え，それ以外の場合は$\mathrm{C}$に$1$点を与える．この試行を繰り返し行い，いずれか$1$人が他の$2$人にそれぞれ$2$点以上点差をつければ，ゲームが終り，得点の最も多い者が勝つ．ただし，さいころはどの目も同じ確率で出るとする．

　次の問いに答えよ．

(1)　$2$回目の試行で$\mathrm{B}$が勝つ確率を求めよ．

(2)　$4$回目の試行で$\mathrm{B}$が勝つ確率を求めよ．

(3)　$5$回目の試行で$\mathrm{B}$が勝つ確率を求めよ．

(4)　$6$回目の試行で$\mathrm{B}$が勝つ確率を求めよ．