2016　関西学院大　教育(理系)，総合政策，理工学部個別日程

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　極限$\underset{x\to 1}{\lim }{\displaystyle \frac{a\sqrt{x}-4}{x-1}}$が有限な値となるような定数$a$の値は$\boxed{\text{ア}}$であり，そのときの極限値は$\boxed{\text{イ}}$である．また，極限$\underset{x\to \infty }{\lim }(\sqrt{x^2-x}-x)$の値は$\boxed{\text{ウ}}$である．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　ベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$が，$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=6\text{，}$$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=2\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=3$をみたすとき，$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\boxed{\text{エ}}\text{，}$$\left|\overrightarrow{a}\right|=\boxed{\text{オ}}$である．任意の実数$t$について${|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|}^2$を$t$を用いて表すと$\boxed{\text{カ}}$となるから，$|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|$の最小値は$\boxed{\text{キ}}$である．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(3)　${(x+2y)}^5$を展開すると$x^2{y}^3$の係数は$\boxed{\text{ク}}$であり，${(2x-{\displaystyle \frac{1}{3x^3}})}^8$を展開すると定数項は$\boxed{\text{ケ}}$である．また，$f(x)={(1+x)}^{100}$の展開式から$f^{\prime }(x)$の展開式が得られ，

${\displaystyle \sum _{K=1}^{100}}{(-1)}^{k-1}\cdot k\cdot {}_{100}C_k={}_{100}C_1-2\cdot {}_{100}C_2+\cdots -100\cdot {}_{100}C_{100}$

の値は$\boxed{\text{コ}}$であることがわかる．

【２】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

$f(x)=\log {\displaystyle \frac{x^2+1}{3}}$とおき，$y=f(x)$のグラフを$C$とする．$C$と$x$軸との交点の$x$座標は$\pm \boxed{\text{ア}}$である．$f(x)$の導関数は$f^{\prime }(x)=\boxed{\text{イ}}$であり，第$2$次導関数は$f^{″}(x)=\boxed{\text{ウ}}$である．$f(x)$の最小値は$\boxed{\text{エ}}$であり，$C$の変曲点の$y$座標は$y=\boxed{\text{オ}}$である．

点$\mathrm{A}(\boxed{\text{ア}},0)$における$C$の接線を$l$とする．$\mathrm{A}$を通り$l$に垂直な直線$m$の傾きは$\boxed{\text{カ}}$であり，$m$は点$(0,\boxed{\text{キ}})$において$y$軸と交わる．

$y=f(x)$のとき，$x^2$を$y$で表すと$x^2=\boxed{\text{ク}}$であり，両辺を$y$で積分すると${\displaystyle \int }{x}^{2}dy=\boxed{\text{ケ}}+c$（$c$は積分定数）である．曲線$C$の$x\geqq 0$の部分，直線$m\text{，}y$軸で囲まれる図形を$y$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積は$\boxed{\text{コ}}$である．

【３】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

$xy$平面上の円$C\text{：}{x}^2+y^2=6$上に$2$点$\mathrm{A}(\sqrt{6},0)\text{，}\mathrm{B}(-\sqrt{6},0)$がある．点$\mathrm{P}(2,0)$を通る直線と円$C$の交点を$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$とする．ただし，$\mathrm{Q}$は第$1$象限にあり，$\angle \mathrm{APQ}=\angle \mathrm{OPR}=\theta (0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$とする．原点$\mathrm{O}$から線分$\mathrm{QR}$に下ろした垂線を$\mathrm{OH}$とする．線分$\mathrm{OH}\text{，}\mathrm{QH}\text{，}\mathrm{RH}$の長さを$\theta$で表すと

$\mathrm{OH}=\boxed{\text{ア}}\text{，}\mathrm{QH}=\mathrm{RH}=\sqrt{\boxed{\text{イ}}}$

である．$▵\mathrm{AQB}$の面積を$S_1\text{，}▵\mathrm{ABR}$の面積を$S_2$とすると

$S_1=\boxed{\text{ウ}}\mathrm{QP}\sin \theta \text{，}{S}_2=\boxed{\text{ウ}}\mathrm{PR}\sin \theta$（$\boxed{\text{ウ}}$は定数）

である．四角形$\mathrm{AQBR}$の面積$S(\theta )$を$\theta$で表すと$S(\theta )=4\sin \theta \sqrt{\boxed{\text{エ}}}$である．$S(\theta )>4\sqrt{3}$となる条件は$\boxed{\text{オ}}<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$である．また，$s={\sin }^2\theta \text{，}t={\{S(\theta )\}}^2$とおくとき，$t$を$s$で表すと$t=\boxed{\text{カ}}$であり，$S(\theta )$は$\theta =\boxed{\text{キ}}$のとき最大値$\boxed{\text{ク}}$をとる．このとき直線$\mathrm{QR}$の方程式は$\boxed{\text{ケ}}$であり，$\mathrm{Q}$の$x$座標は$\boxed{\text{コ}}$である．

【４】　$a_1=6\text{，}{b}_1=3\text{，}{a}_{n+1}=4a_n+b_n\text{，}{b}_{n+1}=2a_n+3b_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$により定義される数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$について次の問いに答えよ．

(1)　$c_n=a_n-b_n$とおくとき，数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　$a_{n+1}$を$a_n$と$n$を用いて表せ．

(3)　$d_n={\displaystyle \frac{a_n}{2^n}}$とおくとき，数列$\{d_n\}$の一般項を求めよ．

(4)　数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$の一般項を求めよ．