2016　関西学院大　社会,法学部個別日程2月7日実施

(1)　$xy$平面において，放物線$y=-x^2+6x-10$を$x$軸方向に$a\text{，}y$軸方向に$a+5$平行移動した放物線を$C$とする．$C$の頂点の座標を$a$を用いて表すと$\boxed{\text{ア}}$である．ただし，$\boxed{\text{ア}}$は$(p,q)$の形で答えよ．放物線$C$が$y$軸に関して対称であるとき，$a$の値は$a=\boxed{\text{イ}}$である．また，$C$と$x$軸が$2$個の共有点$(s,0)\text{，}(t,0)$をもち$st>0$であるとき，$a$の取り得る値の範囲は$\boxed{\text{ウ}}<a<\boxed{\text{エ}}\text{，}a>\boxed{\text{オ}}$である．

(2)　$6$個の数字$1\text{，}1\text{，}2\text{，}3\text{，}3\text{，}4$を並べてできる$6$桁の整数を考える．このような$6$桁の整数の総数は$\boxed{\text{カ}}$個である．そのうち最高位（十万の位）の数字が$1$である整数の総数は$\boxed{\text{キ}}$個あり，最高位の数字が$2$である整数の総数は$\boxed{\text{ク}}$個である．上の$\boxed{\text{カ}}$個の$6$桁の整数を小さい順に並べたとき，最高位の数字が$3$である最初の整数は$\boxed{\text{ケ}}$であり，$312134$は全体の$\boxed{\text{コ}}$番目にある．

(1)　関数

$y=3{\sin }^{2}x\cos x-3\sin x{\cos }^{2}x+\sin x-\cos x({\displaystyle \frac{\pi }{4}}\leqq x\leqq \pi )\cdots \text{①}$

の最大値と最小値を求めよう．$t=\sin x-\cos x$とおくと$t$の値の取り得る範囲は$\boxed{\text{ア}}\leqq t\leqq \boxed{\text{イ}}$である．$y$を$t$の式で表すと$y=\boxed{\text{ウ}}$である．よって，関数$\text{①}$は最大値$\boxed{\text{エ}}\text{，}$最小値$\boxed{\text{オ}}$をとる．

(2)　数列

${\displaystyle \frac{1}{1}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}{\displaystyle \frac{2}{2}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}{\displaystyle \frac{2}{3}}\text{，}{\displaystyle \frac{3}{3}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{4}}\text{，}{\displaystyle \frac{2}{4}}\text{，}{\displaystyle \frac{3}{4}}\text{，}{\displaystyle \frac{4}{4}}\text{，}\cdots$

を考える．この数列において，${\displaystyle \frac{7}{2}}$が最初に現れるのは第$\boxed{\text{カ}}$項である．自然数$n$に対して${\displaystyle \frac{1}{n}}+{\displaystyle \frac{2}{n}}+\cdots +{\displaystyle \frac{n}{n}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\times (\boxed{\text{キ}})$であることから，初項から第$\boxed{\text{カ}}$項までの和は$\boxed{\text{ク}}$である．また，第$1000$項を既約分数で表すと$\boxed{\text{ケ}}$であり，初項から第$1000$項までの数の中で，${\displaystyle \frac{1}{2}}$と等しい数は$\boxed{\text{コ}}$回現れる．

(1)　$f(x)=0$を満たす$x$の値をすべて求めよ．また，$f(x)$が極値をとるような$x$の値をすべて求めよ．

(2)　$1\leqq x\leqq 2$において，常に$0\leqq f(x)\leqq 3$となるとき，$b$が取り得る値の範囲を$a$を用いて表せ．

(3)　$a\text{，}b$が(2)で求めた条件を満たすとする．このとき，${\displaystyle {\int }_1^2}f(x)dx$の最小値とそのときの$a\text{，}b$の値を求めよ．