2017　神戸大学　後期MathJax

$a_1=1\text{，}{a}_{n+1}=2a_n+1\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定義される数列$\{a_n\}$を考える．$2$つのベクトル$\overrightarrow{p_n}=(a_n,a_{n+1})$と$\overrightarrow{p_{n+1}}=(a_{n+1},a_{n+2})$のなす角を${\theta }_n$とする．ただし，$0\leqq {\theta }_n\leqq \pi$である．以下の問に答えよ．

(1)　$\{a_n)$の一般項を求めよ．

(2)　$\tan {\theta }_n$を$n$の式で表せ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\theta }_n=0$を示せ．ただし，必要であれば$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，$0<\theta <\tan \theta$であることを用いてよい．

(4)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{2}^n{\theta }_n$を求めよ．

(ⅰ)　$x>1$で$f(x)$は微分可能であり，$f^{\prime }(x)>0$をみたす．

(ⅱ)　$f(1)=1\text{，}\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=\infty \text{．}$

$a>0$に対して，$g(x)=a\log f(x)\text{（}x\geqq 1\text{）}$とおくとき，以下の問に答えよ．

(1)　$2$つの曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$がただ$1$つの共有点をもつように$a$の値を定めよ．ただし，必要があれば$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\log x}{x}}=0$を用いてよい．

(2)　$f(x)=x+\sqrt{x^2-1}$とおく．このとき，$f(x)$が条件(ⅰ)，(ⅱ)をみたすことを確かめよ．また，$\log f(x)$の不定積分を求めよ．

(3)　(2)で定めた$f(x)$に対して，$2$つの曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$がただ$1$つの共有点$\mathrm{P}$をもつとする．点$\mathrm{P}$を通り$y$軸に平行な直線と$x$軸および曲線$y=g(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．

(1)　$C$が円であることを示し，その中心と半径を求めよ．

(2)　原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円を$S$で表す．$C$の中心が$\mathrm{A}\text{，}$半径が$r$になるとき，$C$と$S$の共有点が存在することを示せ．さらに，このとき$C$と$S$の任意の共有点$\mathrm{Q}$に対して，$\mathrm{OQ}\perp \mathrm{AQ}$が成り立つことを示せ．

・相手のカードから$1$枚のカードをランダムに引く．引いたカードに書かれた整数と同じ整数のカードが自分のカードの中にある場合は，そのカードと引いたカードを一組みにして捨てる．そうでない場合は，引いたカードを自分のカードに加える．

試行の回数を，$2$人のうちのどちらか一方が試行を行ったときに$1$回の試行を行ったものとして数える．試行の総回数が$100$回になった時点，もしくは，$2$人のうちのどちらか一方のもっているカードがなくなった時点で試行を続けることをやめる．$k$が$1\leqq k\leqq 99$をみたす正の整数であるとき，以下の問に答えよ．

(1)　$n=1$とする．$\mathrm{A}$さんから上の試行を始めるとき，試行の総回数が$k$となる確率$p_k$を求めよ．

(2)　$n=2$とする．$\mathrm{A}$さんから上の試行を始めるとき，試行の総回数が$k$となる確率$q_k$を求めよ．

(3)　$n=3$とする．$\mathrm{A}$さんから上の試行を始めるとき，試行の総回数が$k$となる確率$r_k$を求めよ．

(1)　$D$を$y$軸のまわりに$1$回転させてできる図形を$E$とし，さらに$E$を$z$軸のまわりに$1$回転させてできる立体を$V$とする．$V$の体積を求めよ．

(2)　$D$を$z$軸のまわりに$1$回転させてできる立体を$F$とし，さらに$F$を$y$軸のまわりに$1$回転させてできる立体を$W$とする．$W$の体積を求めよ．

(3)　$V$と$W$の体積の大小を比較せよ．