2017　長崎大学　前期MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　$▵\mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{OA}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{M}$とし，辺$\mathrm{OB}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{N}$とする．また，線分$\mathrm{AN}$と線分$\mathrm{BM}$の交点を$\mathrm{P}$とし，直線$\mathrm{OP}$と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおくとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$および$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(2)　連立不等式

$x+y\leqq 4\text{，}y\leqq 2x+4\text{，}y\geqq 0$

の表す領域と放物線$y=x^2-6x+k$が共有点をもつように，定数$k$の値の範囲を定めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(3)　$a_1=1\text{，}{a}_2=1\text{，}{a}_{n+2}-2a_{n+1}+a_n=1\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で定められる数列$\{a_n\}$がある．$b_n=a_{n+1}-a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とおくとき，数列$\{b_n\}$および数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(4)　$0\leqq \theta \leqq \pi$のとき，${\sin }^4\theta +{\cos }^4\theta$の最大値と最小値，およびそのときの$\theta$の値をそれぞれ求めよ．

【２】　$2$つの放物線$C_1\text{：}y=2x^2$と$C_2\text{：}y=-x^2+2mx+1$について考える．ただし，$m$を正の定数とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を$C_1$上の$2$点とし，その$x$座標をそれぞれ$\alpha \text{，}\beta$とする．ただし，$\alpha <\beta$である．このとき，直線$\mathrm{AB}$の傾きおよび$y$切片を，$\alpha$と$\beta$で表せ．

(2)　$C_1$と$C_2$は異なる$2$点で交わることを示せ．(1)の$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$が$C_1$と$C_2$の交点であるとき，$2$次方程式の解と係数の関係を利用して，$\alpha +\beta \text{，}\alpha \beta$を求めよ．さらに，$\beta -\alpha$および直線$\mathrm{AB}$の方程式を$m$を用いて表せ．

(3)　(2)の点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$から$x$軸に垂線を下ろし，$x$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}$とする．このとき，四角形$\mathrm{ABED}$の面積$S$を$m$を用いて表せ．

(4)　$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積$T$を$m$を用いて表せ．

(5)　(3)と(4)で求めた$S\text{，}T$について，

$S:T=3:2$

となるような定数$m$の値を求めよ．

【３】　以下の問いに答えよ．

(1)　$0\leqq \theta \leqq \pi$のとき，$4{\sin }^3\theta +3{\cos }^2\theta$の最大値と最小値，およびそのときの$\theta$の値をそれぞれ求めよ．

【３】　以下の問いに答えよ．

(2)　$e$を自然対数の底とする．$x>e$の範囲において，関数

$y=x^{\frac{1}{x}}$

を考える．この両辺の対数を$x$について微分することにより，$y$は減少関数であることを示せ．また，$e<a<b$のとき，$a^b>b^a$が成り立つことを証明せよ．

【３】　以下の問いに答えよ．

(3)　数列$\{a_n\}$の一般項が

$a_n={\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^{n}n(n-1)$

であるとき，$a_{n+1}-a_n$を$n$の式で表し，$a_n$が最大となる正の整数$n$をすべて求めよ．

【３】　以下の問いに答えよ．

(4)　複素数平面上の点$\mathrm{P}(z)$が，原点を中心とする半径$3$の円の周上を動くとき，

$w={\displaystyle \frac{z+3i}{z}}$

で表される点$\mathrm{Q}(w)$はどのような図形を描くか．

【４】　空間内の$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を頂点とする$▵\mathrm{ABC}$を考える．$2$辺$\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{AC}$の中点をそれぞれ$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{N}$とし，中線$\mathrm{AM}$と$\mathrm{BN}$の交点を$\mathrm{G}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．

(2)　$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$が$\overrightarrow{\mathrm{PA}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を満たすとき，$3$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{G}$は道一直線上にあることを示せ．

(3)　$▵\mathrm{ABC}$の頂点の座標が$\mathrm{A}(0,0,1)\text{，}$$\mathrm{B}(7,0,6)\text{，}$$\mathrm{C}(2,12,5)$であるとき，$xy$平面上を動く点$\mathrm{P}(x,y,0)$を考える．このとき，$|\overrightarrow{\mathrm{PA}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PC}}|$の最小値とそのときの$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(4)　(3)において，特に点$\mathrm{P}(x,y,0)$が，$xy$平面上の円$x^2+y^2=1$の周上を動くものとする．$|\overrightarrow{\mathrm{PA}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PC}}|$の最大値とそのときの$\mathrm{P}$の座標，および最小値とそのときの$\mathrm{P}$の座標を，それぞれ求めよ．

【５】　$2$つの関数$f(x)=\log x\text{，}g(x)=e^x$がある．原点$\mathrm{O}$から曲線$C_1\text{：}y=f(x)$に引いた接線を$l_1\text{，}$接点を$\mathrm{A}$とし，原点$\mathrm{O}$から曲線$C_2\text{：}y=g(x)$に引いた接線を$l_2\text{，}$接点を$\mathrm{B}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　接線$l_1$の方程式と接点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．また，接線$l_2$についても，その方程式と接点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．

(2)　$C_1$と$l_1$および$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

(3)　$C_1\text{，}{C}_2\text{，}x$軸，$y$軸および線分$\mathrm{AB}$で囲まれた図形の面積$T$を求めよ．

(4)　直線$\mathrm{AB}$に平行な直線$m$と曲線$C_1\text{，}{C}_2$の交点を，それぞれ$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{Q}$の座標を$(t,e^t)$とおくとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さを$t$の式で表し，$\mathrm{PQ}$の長さの最小値と，そのときの$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

【６】　$xy$平面上に放物線$C\text{：}y=x^2$と直線$l\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{2}}x-{\displaystyle \frac{1}{4}}$がある．$t>0$とし，$l$上を動く点$\mathrm{P}(t,{\displaystyle \frac{1}{2}}t-{\displaystyle \frac{1}{4}})$から$C$に接線を引く．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$を通り，傾き$m$の直線が$C$に接するとき，$m$が満たす$2$次方程式を求めよ．さらに，この$2$次方程式は，常に異なる$2$つの実数解をもつことを示せ．

(2)　(1)で求めた$2$次方程式の解を$m_1\text{，}{m}_2\text{（}{m}_1<m_2\text{）}$とする．このとき，$m_1+m_2\text{，}{m}_1{m}_2\text{，}{m}_2-m_1$を，それぞれ$t$の式で表せ．

(3)　傾き$m_1\text{，}{m}_2$の$2$本の接線が$x$軸の正の向きとなす角を，それぞれ${\theta }_1\text{，}{\theta }_2(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<{\theta }_1<{\theta }_2<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$とする．このとき，$m_1=\tan {\theta }_1\text{，}{m}_2=\tan {\theta }_2$を利用して$\tan ({\theta }_2-{\theta }_1)$を$t$の式で表せ．さらに，この式を$f(t)$とおくとき，極限値$\underset{t\to \infty }{\lim }f(t)$を求めよ．

(4)　$t>0$であることに注意して，(3)の関数$f(t)$の最小値と，そのときの$t$の値および${\theta }_2-{\theta }_1$の値を求めよ．

【７】　放物線$C\text{：}y=x^2$と定点$\mathrm{A}(0,1)\text{，}\mathrm{B}(0,2)$および$C$上の第$1$象限の点${\mathrm{P}}_1(2,4)$が与えられている．自然数$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$について，以下の操作をくり返す．

このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$a$を定数とする．直線$y=ax+1$と$C$との交点のうち，第$1$象限にあるものを$\mathrm{P}(p,p^2)\text{，}$第$2$象限にあるものを$\mathrm{Q}(q,q^2)$とする．このとき，$pq=-1$が成り立つことを示せ．また，点${\mathrm{Q}}_1$の座標を求めよ．

(2)　点${\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{Q}}_2$および${\mathrm{P}}_3$の座標を求めよ．

(3)　数列$\{p_n\}$および数列$\{q_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ．

(4)　$x\geqq 0$の範囲において，$C$と直線${\mathrm{P}}_n{\mathrm{Q}}_n$および$y$軸で囲まれた図形の面積$S_n$を求めよ．さらに，極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{S_{n+1}}{S_n}}$を求めよ．

【８】　$xy$平面上に，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円がある．この円の周上に$2$点$\mathrm{A}(\cos \alpha ,\sin \alpha )$と$\mathrm{B}(\cos \beta ,\sin \beta )$をとる．ただし，$0<\alpha <\beta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．さらに，$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$から$x$軸に垂線を下ろし，$x$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$とする．

　扇形$\mathrm{OAB}$の面積を$S_1\text{，}$弧$\mathrm{AB}$と線分$\mathrm{BD}\text{，}\mathrm{DC}\text{，}\mathrm{CA}$で囲まれた図形$F$の面積を$S_2$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$S_1$を$\alpha$と$\beta$で表せ．

(2)　$S_2$を$\alpha$と$\beta$で表せ．

(3)　$S_1=S_2$のとき，$\beta$を$\alpha$の式で表せ．また，このとき$t=\cos \alpha -\cos \beta$のとりうる値の範囲を求めよ．

(4)　(3)のとき，扇形$\mathrm{OAB}$および図形$F$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を，それぞれ$V_1$および$V_2$とする．さらに，$V=V_1-V_2$とする．$V$を$t$の式で表せ．

(5)　(4)において，$V$の最大値，およびそのときの$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の座標を求めよ．

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