2017　東京理科大学　理，薬学部B方式2月5日実施MathJax

【１】　次の(1)から(3)において，$\boxed{}$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートにマークせよ．また，$\boxed{}$内の英数字にあてはまる$+$か$-$の記号を解答用マークシートにマークせよ．ただし，$0$は$+0$で表すものとする．また，分数は既約分数（それ以上約分できない分数）の形で表すものとする．なお，問題文中の$\boxed{\text{ム}}$は既出の$\boxed{\text{ム}}$を表す．

(1)　$x$の$2$次方程式$x^2+(a+1)x+a^2+a-1=0$が実数解をもつような実数$a$の値の範囲は

$\boxed{\text{(a)}}{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\leqq a\leqq \boxed{\text{(b)}}\boxed{\text{ウ}}$

である．

　$a$がこの範囲の値をとるとき，上の$2$次方程式の解$x$がとり得る値の範囲は

$\boxed{\text{(c)}}{\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}\leqq x\leqq \boxed{\text{(d)}}\boxed{\text{カ}}$

である．

　方程式$x^2+(a+1)x+a^2+a-1=0$を満たす整数の組$(x,y)$は全部で$\boxed{\text{キ}}$個ある．

【１】　次の(1)から(3)において，$\boxed{}$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートにマークせよ．また，$\boxed{}$内の英数字にあてはまる$+$か$-$の記号を解答用マークシートにマークせよ．ただし，$0$は$+0$で表すものとする．また，分数は既約分数（それ以上約分できない分数）の形で表すものとする．なお，問題文中の$\boxed{\text{ム}}$は既出の$\boxed{\text{ム}}$を表す．

(2)　座標平面において，放物線$C\text{：}y=x^2$上に異なる$3$点$\mathrm{A}(a,a^2)\text{，}\mathrm{B}(b,b^2)\text{，}\mathrm{C}(c,c^2)$をとり，それぞれの点における接線を順に$l\text{，}m\text{，}n$とする．また，$m$と$n$の交点を$\mathrm{P}\text{，}n$と$l$の交点を$\mathrm{Q}\text{，}l$と$m$の交点を$\mathrm{R}$とする．

　$\mathrm{R}$の座標は$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}a+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}b,\boxed{\text{シ}}ab)$である．

　$\mathrm{R}$から直線$\mathrm{PQ}$に下ろした垂線の方程式は

$x+\boxed{\text{ス}}cy={\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}a+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}}b+\boxed{\text{ツ}}abc$

であり，$\mathrm{Q}$から直線$\mathrm{PR}$に下ろした垂線の方程式は

$x+\boxed{\text{テ}}by={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}}}}a+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}c+\boxed{\text{ネ}}abc$

である．

　$▵\mathrm{PQR}$の垂心の$y$座標は，$a\text{，}b\text{，}c$の値にかかわらず，つねに$\boxed{\text{(e)}}{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ハ}}}}$である．

【１】　次の(1)から(3)において，$\boxed{}$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートにマークせよ．また，$\boxed{}$内の英数字にあてはまる$+$か$-$の記号を解答用マークシートにマークせよ．ただし，$0$は$+0$で表すものとする．また，分数は既約分数（それ以上約分できない分数）の形で表すものとする．なお，問題文中の$\boxed{\text{ム}}$は既出の$\boxed{\text{ム}}$を表す．

(3)　以下において，$e$は自然対数の底であり，$2<e<3$を満たす．

　座標平面上で曲線$y=e^x$と直線$y={\displaystyle \frac{x}{e}}+1$で囲まれた図形の面積を$S$とする．

　方程式$e^x={\displaystyle \frac{x}{e}}+1$の$0$でない実数解を$a$とすると

$S=\boxed{\text{(f)}}{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヒ}}}{\boxed{\text{フ}}}}{\displaystyle \frac{a^2}{e}}\boxed{\text{(g)}}\boxed{\text{ヘ}}{\displaystyle \frac{a}{e}}\boxed{\text{(h)}}\boxed{\text{ホ}}a$

が成り立つ．また${\displaystyle {\int }_{-1}^0}{e}^{x}dx=\boxed{\text{マ}}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ミ}}}{e}}$なので，$a$の値を計算しなくても

$\boxed{\text{ム}}<S<\boxed{\text{ム}}+1$

であることがわかる．

【２】　$a\text{，}b$は実数の定数で，$\cos a>0$とする．

(1)　$x$の$2$次方程式

$x^2-2x\cos a\cos b+{\cos }^{2}a=0$

の解を極形式で表せ．

(2)　$x$の$2$次方程式

$x^2{\cos }^{2}a-2x\cos a\cos b+1=0$

の解を極形式で表せ．

(3)　$a\text{，}b$が$-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}\leqq a\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{3}}\text{，}0\leqq b\leqq 2\pi$の範囲を動くとき，(1)の解がとり得る値全体の集合は，複素数平面上のある領域$S_1$になる．また，(2)の解がとり得る値全体の集合は，ある領域$S_2$になる．$S_1$と$S_2$を図示せよ．

(4)　$S_1\text{，}{S}_2$は(3)で定めた領域とする．$2$つの複素数$\alpha \text{，}\beta$について，$\alpha$が$S_1$上，$\beta$が$S_2$上を動くとき，$\alpha \beta$がとり得る値全体の集合は，複素数平面上のある領域$S$になる．$S$を図示せよ．

【３】　$f(x)=\sin (\pi \cos x)$で定められた関数$f(x)$に対して，次の問いに答えよ．ただし，$f^{\prime }(x)$は$f(x)$の導関数を表す．

(1)　$f(\pi +x)-f(\pi -x)$の値を求めよ．

(2)　$0\leqq x\leqq 2x$において，$f(x)=0$を満たす$x$の値をすべて求めよ．

(3)　$0\leqq x\leqq 2\pi$において，$f^{\prime }(x)=0$を満たす$x$の値をすべて求めよ．

(4)　$f({\displaystyle \frac{\pi }{2}}+x)+f({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-x)$の値を求めよ．

(5)　${\displaystyle \frac{{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }}|f(x)|dx}{{\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}|f(x)|dx}}$の値を求めよ．