2017　関西学院大　教育(理系)，総合政策，理工学部個別日程

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$x=\sqrt{7+4\sqrt{3}}$とおく．$x=\sqrt{a}+\sqrt{b}$を満たす自然数$a\text{，}b\text{（}a>b\text{）}$は，$a=\boxed{\text{ア}}\text{，}b=\boxed{\text{イ}}$である．また，$x+{\displaystyle \frac{1}{x}}$を簡単にすると，$x+{\displaystyle \frac{1}{x}}=\boxed{\text{ウ}}$である．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　$x$を正の実数とし，$x+{\displaystyle \frac{2}{x}}=t$とおく．$t$のとりうる値の範囲は$\boxed{\text{エ}}$である．また，$P(x)=x^4-4x^3+4x^2-8x+4$とするとき，${\displaystyle \frac{P(x)}{x^2}}$を$t$の式で表すと$\boxed{\text{オ}}$となる．したがって，方程式$P(x)=0$の実数解のうち最大のものは$\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(3)　円$C$は$x$軸と直線$x=-1$の両方に接し，中心は第$1$象限にあるとする．円$C$の半径を$r$とするとき，円$C$の中心の座標を$r$を用いて表すと$\boxed{\text{キ}}$であり，円$C$が点$(5,3)$を通るとすると，$r=\boxed{\text{ク}}$または$\boxed{\text{ケ}}\text{（}\boxed{\text{ク}}<\boxed{\text{ケ}}\text{）}$である．また，$r=\boxed{\text{ク}}$のとき，点$\mathrm{A}(-1,0)\text{，}\mathrm{B}(0,-1)$と円$C$上の点$\mathrm{P}$をとってできる三角形$\mathrm{ABP}$の面積の最小値は$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

四角形$\mathrm{OABC}$は辺$\mathrm{OA}$を下底，辺$\mathrm{CB}$を上底とする台形で，$\angle \mathrm{AOC}=\angle \mathrm{OAB}$を満たしている．

$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=2\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|=1\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=t\text{，}$$\angle \mathrm{AOC}=\angle \mathrm{OAB}=\theta$$\text{（}0<\theta <\pi \text{）}$

とする．

$t$を$\theta$を用いてあらわすと$t=\boxed{\text{ア}}$であり，$\left|t\right|$のとりうる値の範囲は$\left|t\right|<\boxed{\text{イ}}$である．

上底$\mathrm{CB}$の長さを$\cos \theta$のみを用いてあらわすと$\boxed{\text{ウ}}$であり，台形$\mathrm{OABC}$の高さを$\cos \theta$のみを用いてあらわすと$\boxed{\text{エ}}$である．

台形$\mathrm{OABC}$の面積を$t$のみを用いてあらわすと$\boxed{\text{オ}}$であり，台形$\mathrm{OABC}$の面積の最大値を与える$t$の値は$\boxed{\text{カ}}$である．

ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$および$t$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\boxed{\text{キ}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}$であり，したがって，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=\boxed{\text{ク}}$である．対角線$\mathrm{OB}$と$\mathrm{OC}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$および$t$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\boxed{\text{ケ}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\boxed{\text{コ}}\overrightarrow{\mathrm{OC}}$である．

【３】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

大，中，小の$3$個のさいころを同時に投げてでる目をそれぞれ$x\text{，}y\text{，}z$とする．

(1)　$x=y=z$となる確率は$\boxed{\text{ア}}$であり，$x\text{，}y\text{，}z$がすべて異なる確率は$\boxed{\text{イ}}$である．

(2)　$l=xyz$とおくとき，$l$が$5$の倍数にならない確率は$\boxed{\text{ウ}}$であり，$l$が$3$の倍数になる確率は$\boxed{\text{エ}}$である．

(3)　$m=x+y+z$とおくとき，$m$のとりうる値の範囲は$\boxed{\text{オ}}\leqq m\leqq \boxed{\text{カ}}$であり，$m=\boxed{\text{オ}}$となる確率は$\boxed{\text{キ}}\text{，}m=\boxed{\text{カ}}$となる確率は$\boxed{\text{ク}}$である．

(4)　$n=100x+10y+z$とおくとき，$n$が奇数になる確率は$\boxed{\text{ケ}}$であり，$n$が$9$の倍数になる確率は$\boxed{\text{コ}}$である．

【４】　$n$を$2$以上の整数とする．関数$f_n(x)=x^{-n}\log x\text{（}x>0\text{）}$が最大値をとる$x$の値を$a_n$とおき，$I_n={\displaystyle {\int }_1^{a_n}}{f}_n(x)dx$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a_n$の値および$f_n(x)$の最大値を求めよ．

(2)　極限$\underset{x\to +0}{\lim }{f}_n(x)$および$\underset{x\to \infty }{\lim }{f}_n(x)$を求めよ．

(3)　不定積分${\displaystyle \int }{f}_n(x)dx$を求めよ．また，$I_n$を$n$の式で表せ．

(4)　極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^2{I}_n$を求めよ．