2017　西南学院大学　全学部MathJax

【１】

１　以下の問に答えよ．

(1)　${\log }_{8}9\times {\log }_{3}16={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$

【１】

１　以下の問に答えよ．

(2)　$2^5\times \sqrt{\sqrt[3]{512}}={(\sqrt{2})}^{\boxed{\text{ウエ}}}$

【１】

１　以下の問に答えよ．

(3)　関数$y={\displaystyle \frac{1}{3}}{\log }_{2}x$のグラフは，指数関数$y={\boxed{\text{オ}}}^x$のグラフを直線$y=x$に関して対称に移したものである．

【１】

２　整式$P(x)=x^3+a{x}^2+bx$について，以下の問に答えよ．

(1)　$P(x)$を$x+1$で割ると余りが$2$となり，$x+2$で割ると余りが$8$となるとき，$a=\boxed{\text{カ}}\text{，}b=\boxed{\text{キ}}$である．

(2)　$P(x)$を$x^2+3x+2$で割ると，余りが$x-2$となるとき，$a=\boxed{\text{ク}}\text{，}b=\boxed{\text{ケ}}$である．

(3)　$P(x)$を$x^2+3x+2$で割った余りと，$P(x+1)$を$x^2+3x+2$で割った余りが等しくなるとき，$a=\boxed{\text{コ}}\text{，}b=\boxed{\text{サ}}$である．

【２】

１　半径$1$の円に内接する三角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}=\alpha \text{，}\angle \mathrm{B}=\beta \text{，}\angle \mathrm{C}=\gamma$とし，三角形の面積を$S$とする．以下の問に答えよ．

(1)　$S=\boxed{\text{シ}}\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma$である．

(2)　$\gamma ={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$のとき，$\alpha ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}\pi }{\boxed{\text{セ}}}}\text{，}\beta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}\pi }{\boxed{\text{タ}}}}$で，$S$は最大値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}+\sqrt{\boxed{\text{ツ}}}}{\boxed{\text{テ}}}}$をとる．

【２】

２ 　数列が以下で与えられている．

${\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{4}},{\displaystyle \frac{3}{4}},{\displaystyle \frac{1}{8}},{\displaystyle \frac{3}{8}},{\displaystyle \frac{5}{8}},{\displaystyle \frac{7}{8}},{\displaystyle \frac{1}{16}},{\displaystyle \frac{3}{16}},{\displaystyle \frac{5}{16}},\cdots ,{\displaystyle \frac{15}{16}},{\displaystyle \frac{1}{32}},\cdots$

分母の値が共通の項を$1$つの群とみなす．例えば，第$5$項の${\displaystyle \frac{3}{8}}$は，$3$番目の群に属する．このとき以下の問に答えよ．

(1)　第$40$項は$\boxed{\text{ト}}$番目の群に属する．

(2)　$k$番目の群に属する項の和は${\boxed{\text{ナ}}}^{k-\boxed{\text{ニ}}}$である．

(3)　第$1$項から第$40$項までの和は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヌネノハ}}}{\boxed{\text{ヒフ}}}}$である．

【３】　$a$を正の定数とする．$x$の関数$g(x)$を

$g(x)=a{x}^3-4a{x}^2-3ax+1$

とするとき，以下の問に答えよ．

(1)　$g(x)$の導関数$g^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　$g(x)$の極小値が$-2$となるとき，$a$の値を求め$g(x)$の式を求めよ．

(3)　$f(x)$を$x$の関数とする．(2)の$g(x)$の式を用いて次の式

${\displaystyle {\int }_b^x}f(t)dt=g(x)$

が成立するとき，$f(x)$と定数$b$の値を求めよ．