2018　京都大学　特色入試総合人間学部

【１】　$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$p\text{，}$$q\text{，}$$r$は実数で，$a\text{，}$$p$は$0$でないとする．さらに，$2$つの放物線

$C_1\text{：}y=a{x}^2+bx+c\text{，}$$C_2\text{：}y=p{x}^2+qx+r$

は相異なるとする．このとき，$C_1$と$C_2$に共通接線が存在するための必要十分条件は，

であることを証明せよ．

【２】　$a\geqq 0$に対して，放物線$y={\displaystyle \frac{x^2}{2}}$上の点${\mathrm{P}}_n$$(a,{\displaystyle \frac{a^2}{2}})$における接線を$l_a$で表す．点$\mathrm{Q}$$(0,{\displaystyle \frac{5}{2}})$から接線$l_a$に下ろした垂線と接線$l_a$との交点を${\mathrm{H}}_a$で表す．

問１　${\mathrm{P}}_a$と${\mathrm{H}}_a$が一致するような正の数$a$を$a_0$と表す．このとき，$a_0$の値を求めよ．

問２　$a$が$0\leqq a\leqq a_0$の範囲を動くときにできる点${\mathrm{H}}_a$の軌跡と，放物線$y={\displaystyle \frac{x^2}{2}}$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．