2018　京都大学　特色入試理学部

【１】　凸五角形${\mathrm{A}}_n{\mathrm{B}}_n{\mathrm{C}}_n{\mathrm{D}}_n{\mathrm{E}}_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{）}$が次の条件を満たしている．

${\mathrm{A}}_{n+1}$は辺${\mathrm{C}}_n{\mathrm{D}}_n$の中点，

${\mathrm{B}}_{n+1}$は辺${\mathrm{D}}_n{\mathrm{E}}_n$の中点，

${\mathrm{C}}_{n+1}$は辺${\mathrm{E}}_n{\mathrm{A}}_n$の中点，

${\mathrm{D}}_{n+1}$は辺${\mathrm{A}}_n{\mathrm{B}}_n$の中点，

${\mathrm{E}}_{n+1}$は辺${\mathrm{B}}_n{\mathrm{C}}_n$の中点．

右図は，五角形${\mathrm{A}}_n{\mathrm{B}}_n{\mathrm{C}}_n{\mathrm{D}}_n{\mathrm{E}}_n$と五角形${\mathrm{A}}_{n+1}{\mathrm{B}}_{n+1}{\mathrm{C}}_{n+1}{\mathrm{D}}_{n+1}{\mathrm{E}}_{n+1}$の位置関係を図示したものである．

　以下の設問に答えよ．

(1)　正の実数$\alpha$をうまく取ると，数列$\{{\alpha }^n|\overrightarrow{{\mathrm{A}}_n{\mathrm{B}}_n}\left|\right\}$が$0$でない実数に収束するようにできることを示せ．

(2)　五角形${\mathrm{A}}_n{\mathrm{B}}_n{\mathrm{C}}_n{\mathrm{D}}_n{\mathrm{E}}_n$の$5$本の辺の長さの和を$L_n\text{，}$$5$本の対角線の長さの和を$M_n$とする．極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{M_n}{L_n}}$を求めよ．

　ただし，五角形が凸であるとは，その内角がすべて$180\mathrm{°}$未満であることをいう．また，五角形の対角線とは，$2$頂点を結ぶ線分で辺でないもののことである．

【２】　実数$a\text{，}$$b$が$0\leqq a<1$および$0\leqq b<1$を満たしている．このとき，次の条件(C)を満たす$2$つの整数$m\text{，}$$n$が存在することを示せ．

(C)　$xy$平面において，点$(m+a,n+b)$を中心とする半径${\displaystyle \frac{1}{100}}$の円の内部が，$y=x^2$のグラフと共有点を持つ．

【３】　$n$を自然数とする．投げたとき表裏の出る確率がそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ずつであるような硬貨を用意し，この硬貨を$2^n-1$回投げる．このとき，$2^{n-1}\leqq k\leqq 2^n-1$である自然数$k$のうち少なくとも$1$つが次の条件(＊)を満たす確率を$p_n$とする．

(＊)　$n$以下のすべての自然数$m$について，$\left[{\displaystyle \frac{k}{2^{n-m}}}\right]$回目の硬貨投げの結果は表である．

ただし，実数$x$に対して，$\left[x\right]$は$x$より大きくない最大の整数を表す．

　例えば，$p_1$は硬貨を$1$回投げて表が出る確率を表すので，$p_1={\displaystyle \frac{1}{2}}$である．$p_2$は，硬貨を$3$回投げて，「$1$回目と$2$回目がともに表」であるか「$1$回目と$3$回目がともに表」であるかの少なくとも一方が成り立つ確率を表すので，$p_2={\displaystyle \frac{3}{8}}$である．

　以下の設問に答えよ．

(1)　$p_{n+1}$を．$p_n$を用いて表せ．

(2)　$r_n={\displaystyle \frac{2}{p_n}}-n$とする．すべての$n$に対して$r_n\geqq 3$が成り立つことを示せ．

(3)　すべての$n$に対して

${\displaystyle \frac{2}{n+3+\log n}}\leqq p_n\leqq {\displaystyle \frac{2}{n+3}}$

が成り立つことを示せ．

【４】　自然数$k$と$n$は互いに素で，$k<n$を満たすとする．$n$項からなる数列$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$a_n$が次の$3$条件(イ)，(ロ)，(ハ)を満たすとき，性質$\mathrm{P}(k,n)$を持つということにする．

(イ)　$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$a_n$はすべて整数．

(ロ)　$0\leqq a_1<a_2<\cdots <a_n<2^n-1\text{．}$

(ハ)　$a_{n+1}\text{，}$$\cdots \text{，}$$a_{n+k}$を$a_{n+j}=a_j$$\text{（}1\leqq j\leqq k\text{）}$で定めたとき，$n$以下のすべての自然数$m$に対して$2a_m-a_{m+k}$は$2^n-1$で割り切れる．

以下の設問に答えよ．

(1)　$k=2$かつ$n=5$の場合を考える，性質$\mathrm{P}(2,5)$を持つ数列$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$a_5$をすべて求めよ．

(2)　数列$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$a_n$が性質$\mathrm{P}(k,n)$を持つとする．$a_{k+1}-a_k=1$であることを示せ．