2018　関西学院大　文系学部全学日程2月1日実施

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$f(x)=|x^2-5x+4|+|x-1|$とする．このとき，不等式$f(x)\geqq 8$の解は，$x\leqq \boxed{\text{ア}}\text{，}x\geqq \boxed{\text{イ}}$である．実数$k$に対して，$x$についての方程式$f(x)=k$が$4$個の実数解を持つとき，$k$のとりうる値の範囲は，$\boxed{\text{ウ}}<k<\boxed{\text{エ}}$である．また，方程式$f(x)=f(x+1)$の解で$x>{\displaystyle \frac{5}{2}}$を満たすものは$x=\boxed{\text{オ}}$である．

【１】次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　サイコロ$2$個を同時に$1$回振って，出た目の数の和が$3$または$11$であれば当たりとし，そうでなければはずれとする．この試行を当たりが$3$回となるまで繰り返すとき，ちょうど$n$回目で終わる確率を$p(n)$と表すことにする．このとき，$p(3)=\boxed{\text{カ}}\text{，}p(4)=\boxed{\text{キ}}$である．一般に，$n\geqq 3$に対して${\displaystyle \frac{p(n+1)}{p(n)}}$を$n$の式で表すと${\displaystyle \frac{p(n+1)}{p(n)}}=\boxed{\text{ク}}$である．したがって，${\displaystyle \frac{p(n+1)}{p(n)}}<1$となる$n$の範囲は$n>\boxed{\text{ケ}}$であり，$p(n)$の値が最大となる$n$は$2$つあって，$n=\boxed{\text{ケ}}$と$n=\boxed{\text{コ}}$のときである．

【２】次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　座標平面上に$3$点$\mathrm{A}(-2,3)\text{，}\mathrm{B}(4,-1)\text{，}\mathrm{P}(3p-3,-p+6)$がある．$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を通る直線の方程式を$y=ax+b$（$a\text{，}b$は定数）と表すとき，$a\text{，}b$の値の組は$(a,b)=\boxed{\text{ア}}$であるから，$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{P}$が一直線上にあるとき，$p=\boxed{\text{イ}}$である．次に$p\ne \boxed{\text{イ}}$とする．このとき，$▵\mathrm{ABP}$の重心が直線$y=2x$上にあるとすると，$p=\boxed{\text{ウ}}$である．また，$▵\mathrm{ABP}$の面積が$2$であるとすると，$p=\boxed{\text{エ}}\text{，}\boxed{\text{オ}}$である．ただし，$\boxed{\text{エ}}<\boxed{\text{オ}}$とする．

【２】次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　整式${(x+1)}^n$を$x^2-2x+1$で割った余りを$a_{n}x+b_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とする．このとき，$a_1=\boxed{\text{カ}}$である．また，$a_n+b_n=\boxed{\text{キ}}$が成り立つことから，$a_{n+1}$を$a_n$のみを用いて表すと，$a_{n+1}=\boxed{\text{ク}}{a}_n+\boxed{\text{キ}}$となる．ここで，$c_n={\displaystyle \frac{a_n}{\boxed{\text{キ}}}}$とおくとき数列$\{c_n\}$は公差が$\boxed{\text{ケ}}$の等差数列となることを用いると，数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=\boxed{\text{コ}}$であることが導かれる．ただし，$\boxed{\text{カ}}\text{，}\boxed{\text{ク}}\text{，}\boxed{\text{ケ}}$は数値であり，$\boxed{\text{キ}}\text{，}\boxed{\text{コ}}$は$n$の式である．

【３】　関数$f(x)=-x^3+a{x}^2-11x+b$（$a\text{，}b$は定数）は$x=1$で極値$3$をとるとする．曲線$y=f(x)$上の点$(2,f(2))$における接線を$l$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　定数$a$と$b$の値を求めよ．

(2)　直線$l$の方程式を求めよ．

(3)　放物線$y=3x^2+17x+c$（$c$は定数）上の点$(p,3p^2+17p+c)$における接線が直線$l$と一致しているとき，$c$と$p$の値を求めよ．

(4)　$c$と$p$は(3)で求めた値であるとする．このとき，$p\leqq x\leqq 2$の範囲で，曲線$y=f(x)\text{，}$放物線$y=3x^2+17x+c$および直線$l$で囲まれた図形の面積を求めよ．