2018　関西学院大　理工学部全学日程

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　平面上の$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(\sqrt{3},1)$と$\overrightarrow{b}=(1,-\sqrt{3})$に関して，内積の値は$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\boxed{\text{ア}}$である．$\overrightarrow{p}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$とおく．実数$s\text{，}$$t$が$s+t=3$を満たしながら動くとき，${\left|\overrightarrow{p}\right|}^2$を$s$のみの式で表すと${\left|\overrightarrow{p}\right|}^2=\boxed{\text{イ}}$である．したがって，$\left|\overrightarrow{p}\right|$の最小値は$\boxed{\text{ウ}}$であり，そのときの$s$の値は$\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　関数$\sin x+\sqrt{3}\cos x$を$r\sin (x+\alpha )\text{（}r>0\text{，}0\leqq \alpha <2\pi \text{）}$の形に変形すると，$r=\boxed{\text{オ}}\text{，}\alpha =\boxed{\text{カ}}$となる．方程式$\sin x+\sqrt{3}\cos x=2$の$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲にある解は$x=\boxed{\text{キ}}$である．

【１】 　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(3)　${\displaystyle \frac{3x^2-3x+19}{x^3+a{x}^2-3x-18}}={\displaystyle \frac{1}{x-2}}+{\displaystyle \frac{bx-5}{{(x+c)}^2}}$が$x$についての恒等式となるように定数$a\text{，}b\text{，}c$を定めると，$a=\boxed{\text{ク}}\text{，}b=\boxed{\text{ケ}}\text{，}c=\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

　円$C\text{：}{x}^2+y^2-4x+2y-20=0$の中心の座標は$\boxed{\text{ア}}\text{，}$半径は$\boxed{\text{イ}}$である．点$\mathrm{A}(-5,0)$から円$C$に$2$本の接線を引き，$2$つの接点を$y$座標が小さい方から順に$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とする．このとき，直線$\mathrm{AP}$の傾きは$\boxed{\text{ウ}}\text{，}$直線$\mathrm{AQ}$の傾きは$\boxed{\text{エ}}$である．また，点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$の座標は，それぞれ$\boxed{\text{オ}}\text{，}\boxed{\text{カ}}$である．$\angle \mathrm{PAQ}$の大きさは$\boxed{\text{キ}}$であり，三角形$\mathrm{PAQ}$の面積は$\boxed{\text{ク}}$である．点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を通り，半径が$5\sqrt{5}$である$2$つの円の中心の座標は，$y$座標が小さい方から順に$\boxed{\text{ケ}}$と$\boxed{\text{コ}}$である．

【３】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

　$n$を$3$以上の整数とする．$1$から$n$までの整数を$1$つずつ書いた$n$枚のカードが箱に入っている．この箱から$3$枚のカードを同時に取り出し，取り出したカードに書いてある整数を小さい順に$a\text{，}b\text{，}c$とする．

(1)　$n=9$のとき，$a\text{，}b\text{，}c$すべて偶数となる取り出し方は$\boxed{\text{ア}}$通り，$a\text{，}b\text{，}c$のうち$2$つが奇数で$1$つが偶数となる取り出し方は$\boxed{\text{イ}}$通りある．よって，$a+b+c$が偶数となる確率は$\boxed{\text{ウ}}$である．

(2)　$n=10$のとき，$a=1$となる確率は$\boxed{\text{エ}}$であり，$a+b=3$となる確率は$\boxed{\text{オ}}$である．

(3)　$a+b+c=8$となる確率は，$n=3$のとき$\boxed{\text{カ}}\text{，}n=4$のとき$\boxed{\text{キ}}\text{，}n\geqq 5$のとき$\boxed{\text{ク}}$である．

(4)　$a+b+c\geqq 13$となる確率は，$n=6$のとき，$\boxed{\text{ケ}}\text{，}n=7$のとき$\boxed{\text{コ}}$である．

【４】　$xy$平面上の曲線$C\text{：}y=e^{-x}$を考える．ただし，$e$は自然対数の底とする．

数列$\{a_n\}$を次のように定める．$a_1=0$とする．曲線$C$上の点${\mathrm{A}}_n(a_n,e^{-a_n})$における曲線$C$の接線$l_n$と$x$軸との交点の$x$座標を$a_{n+1}$とする．

曲線$C$と直線$l_n$および$x=a_{n+1}$で囲まれる部分を$D_n$とする．また，$D_n$の面積を$S_n$とし，$D_n$を$x$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積を$V_n$とする．

このとき，次の問いに答えよ．

(1)　${\mathrm{A}}_1(0,1)$における曲線$C$の接線$l_1$の方程式を求めよ．また，$a_2$の値を求めよ．

(2)　$S_1$の値を求めよ．

(3)　$a_{n+1}$を$a_n$の式で表し，数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．また，直線$l_n$の方程式を求めよ．

(4)　数列$\{S_n\}$の一般項および${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{S}_n$の値を求めよ．

(5)　数列$\{V_n\}$の一般項を求めよ．