2018　関西学院大　文系学部全学日程2月2日実施

(1)　$6$つの実数からなる観測値を$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3\text{，}{a}_4\text{，}{a}_5\text{，}{a}_6$と表す．ただし，$a_1<a_2<a_3<a_4<a_5<a_6$であるとする．このとき，中央値$a^{*}={\displaystyle \frac{a_3+a_4}{2}}$は関数

$f(x)=|x-a_1|+|x-a_2|+|x-a_3|+|x-a_4|+|x-a_5|+|x-a_6|$

の値を最小にすることを次のように証明しよう．

(証明)　$x<a_1$のとき，絶対値記号をはずして整理すると，$f(x)-f(a_1)=-6x+\boxed{\text{ア}}>0$となる．

　同様に$x>a_6$のときには，$f(x)-f(a_6)=6x-\boxed{\text{イ}}>0$となる．

　また，$a_1\leqq x\leqq a_6$のとき，

$f(x)=|x-a_2|+|x-a_3|+|x-a_4|+|x-a_5|+\boxed{\text{ウ}}$

である．さらに，$x$の関数$|x-a_2|+|x-a_5|$の最小値は$\boxed{\text{エ}}$であるから，

$f(x)\geqq |x-a_3|+|x-a_4|+\boxed{\text{ウ}}+\boxed{\text{エ}}$

となる．したがって，$f(x)$は$a_3\leqq x\leqq a_4$において最小値$\boxed{\text{オ}}$をとる．

　$a_3\leqq a^{*}\leqq a_4$であるから，中央値$a^{*}$は関数$f(x)$の値を最小にする．(証明おわり)

　なお，$\boxed{\text{ア}}\text{，}\boxed{\text{イ}}\text{，}\boxed{\text{ウ}}\text{，}\boxed{\text{エ}}\text{，}\boxed{\text{オ}}$は$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3\text{，}{a}_4\text{，}{a}_5\text{，}{a}_6$を用いて表される数式である．

(2)　$3$個のサイコロを同時に投げ，出た目の和を$X\text{，}$出た目の積を$Y$とする．このとき，$X=6$である確率は$\boxed{\text{カ}}$であり，$Y=12$である確率は$\boxed{\text{キ}}$である．また，$X$が$3$の倍数である確率は$\boxed{\text{ク}}$であり，$Y$が$3$の倍数である確率は$\boxed{\text{ケ}}$である．さらに，$X$と$Y$がともに$3$の倍数である確率は$\boxed{\text{コ}}$である．

(1)　座標平面上の原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円を$S$とし，その上の$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の座標をそれぞれ

$\mathrm{A}(\cos \theta ,\sin \theta )\text{，}\mathrm{B}(\cos (\theta +\alpha ),\sin (\theta +\alpha ))$

とする．ただし$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}\sin \alpha ={\displaystyle \frac{3}{5}}$とする．点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$における円$S$の接線をそれぞれ$k\text{，}l$とし，$k$と$l$の交点を$\mathrm{C}$とする．このとき，$\mathrm{OC}=\boxed{\text{ア}}$であり，$\mathrm{AC}=\boxed{\text{イ}}$である．さらに，直線$k$と$x$軸との交点を$\mathrm{D}$とし，$▵\mathrm{ODA}$の面積は$▵\mathrm{OAC}$の面積の$2$倍であるとする．このとき，$\mathrm{AD}=\boxed{\text{ウ}}$であり，$\cos \theta =\boxed{\text{エ}}\text{，}\sin \theta =\boxed{\text{オ}}$である．

(2)　数列$\{a_n\}$が$a_1={\displaystyle \frac{3}{2}}\text{，}{a}_{n+1}={\displaystyle \frac{3a_n-2}{2a_n-1}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で定められているとする．このとき，$b_n={\displaystyle \frac{1}{a_n-1}}$とおくと，$b_{n+1}-b_n=\boxed{\text{カ}}$である．ただし，$\boxed{\text{カ}}$は数値である．これを用いて数列$\{a_n\}$の一般項を求めると，$a_n=\boxed{\text{キ}}$である．

　次に，数列$\{c_n\}$を$c_1=1\text{，}{c}_{n+1}=c_n+4b_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で定めると，一般項は$c_n=\boxed{\text{ク}}$である．数列$\{c_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とするとき，$S_n$を因数分解した形で表すと$\boxed{\text{ケ}}$であり，${\displaystyle \sum _{k=1}^{10}}{\displaystyle \frac{k}{S_k}}=\boxed{\text{コ}}$である．

(1)　点$(-1,f(-1))$における曲線$y=f(x)$の接線$l$の方程式を$a$を用いて表せ．

(2)　$a$は$a>-2$の範囲にあるとする．このとき，曲線$y=f(x)\text{，}$直線$l$および$y$軸で囲まれた図形のうち，$x\leqq 0$の範囲にある部分の面積を求めよ．

(3)　実数$t$に対して，点$(t,f(t))$における曲線$y=f(x)$の接線の方程式を$a\text{，}t$を用いて表せ．

(4)　$a$は$-2<a<6$の範囲にあるとする．このとき，曲線$y=f(x)$の接線で原点を通るものは直線$l$以外にないことを示せ．