2018　関西学院大　文学部個別日程2月3日実施

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　四角形$\mathrm{ABCD}$は円に内接し，$\mathrm{AB}=\mathrm{AD}=3\text{，}\mathrm{BC}=6\text{，}\mathrm{CD}=9$であるとする．このとき，$\angle \mathrm{ABC}=\boxed{\text{ア}}\mathrm{°}$であり，対角線$\mathrm{AC}$の長さは$\boxed{\text{イ}}$である．また，この四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は$\boxed{\text{ウ}}$であるから，$\sin \angle \mathrm{BAD}=\boxed{\text{エ}}$である．さらに，直線$\mathrm{AB}$に頂点$\mathrm{D}$から垂線$\mathrm{DH}$を下ろすと，$\mathrm{DH}=\boxed{\text{オ}}$である．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　袋の中に$1$から$9$までの整数が記されたカードが，それぞれ$1$枚ずつ，合計$9$枚入っている．この袋の中からカードを$1$枚ずつ全部で$4$枚を取り出す．ただし，取り出したカードは袋に戻さないものとする．取り出したカードに記された数字を取り出された順に$X_1\text{，}{X}_2\text{，}{X}_3\text{，}{X}_4$とするとき，$X_2=4$である確率は$\boxed{\text{カ}}$である．また，$X_1+X_2\leqq 7$である確率は$\boxed{\text{キ}}$であり，$X_4=2X_1$である確率は$\boxed{\text{ク}}$である．次に，$X_1\text{，}{X}_2\text{，}{X}_3\text{，}{X}_4$を小さい順に並びかえたものを$Y_1\text{，}{Y}_2\text{，}{Y}_3\text{，}{Y}_4$とするとき，$Y_2=4$である確率は$\boxed{\text{ケ}}$であり，$Y_4=2Y_1$である確率は$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　関数

$y=1+{\log }_2(1-2x)-{\log }_{\frac{1}{2}}(x+1)\cdots \text{①}$

を考える．真数の条件から，関数$\text{①}$が定義される範囲は$-1<x<\boxed{\text{ア}}$であり，関数$\text{①}$は

$y={\log }_4(\boxed{\text{イ}})$

と表される．したがって，関数$\text{①}$は$x=\boxed{\text{ウ}}$で最大値$\boxed{\text{エ}}$をとる．また，$y=1$となる$x$の値は$x=0\text{，}\boxed{\text{オ}}$である．ただし，$\boxed{\text{エ}}$は既約分数で答えよ．

【２】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$は次の関係式

$\{\begin{array}{ll}{a}_{n+1}=p{a}_n-{\displaystyle \frac{3}{2}}{b}_n& \text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}\\ b_{n+1}=3a_n+q{b}_n\\ \multicolumn{2}{c}{a_1=1\text{，}{b}_1=2\text{，}{a}_2=3\text{，}{b}_2=4}\end{array}$

を満たす数列であるとする．ここで，$p$と$q$は定数である．このとき，$p$と$q$の組は，$(p,q)=\boxed{\text{カ}}$である．また，すべての自然数$n$に対して，

$a_{n+1}+\alpha b_{n+1}=\beta (a_n+\alpha b_n)$

が成り立つような定数$\alpha$と$\beta$の組を$({\alpha }_1,{\beta }_1)\text{，}({\alpha }_2,{\beta }_2)$とすると，$({\alpha }_1,{\beta }_1)=\boxed{\text{キ}}\text{，}({\alpha }_2,{\beta }_2)=\boxed{\text{ク}}$である．ただし，${\alpha }_1<{\alpha }_2$とする．したがって，数列$\{a_n\}$の一般項は，$a_n=\boxed{\text{ケ}}{{\beta }_1}^{n-1}+\boxed{\text{コ}}{{\beta }_2}^{n-1}$と表される．ただし，$\boxed{\text{ケ}}\text{，}\boxed{\text{コ}}$は数値である．

【３】　$a$を正の実数，$b$を実数とし，

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^2\text{，}$

$g(x)=-x^2+4ax+b$

とする．曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$はただ$1$つの共有点$\mathrm{P}$を持つとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$b$を$a$を用いて表せ．また，共有点$\mathrm{P}$の座標を$a$を用いて表せ．

(2)　曲線$y=g(x)$と$x$軸で囲まれる図形の面積を$a$を用いて表せ．

(3)　$0<a\leqq 3$とする．$xy$平面において，連立不等式

$0\leqq x\leqq 3\text{，}y\geqq 0\text{，}g(x)\leqq y\leqq f(x)$

が表す領域を$D$とする．領域$D$の面積を$a$を用いて表せ．

(4)　(3)で求めた領域$D$の面積を$S(a)$とする．$0<a\leqq 3$の範囲において，$S(a)$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．