2018　関西学院大　教育(理系)，総合政策，理工学部個別日程

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　円$C\text{：}{x}^2+y^2-y=0$の中心の座標は$\boxed{\text{ア}}$であり，半径は$\boxed{\text{イ}}$である．円$C$と直線$y=-x+1$の交点を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とするとき，線分$\mathrm{AB}$の中点の座標は$\boxed{\text{ウ}}$である．また，線分$\mathrm{AB}$の長さは$\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　$1$個のさいころを$2$回続けて投げ，$1$回目に出た目を$X\text{，}2$回目に出た目を$Y$とする．このとき，${\displaystyle \frac{X}{Y}}=1$となる確率は$\boxed{\text{オ}}$であり，${\displaystyle \frac{X}{Y}}>1$となる確率は$\boxed{\text{カ}}$である．また，${\displaystyle \frac{X}{Y}}$が整数になる確率は$\boxed{\text{キ}}$である．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(3)　${(x-3y)}^4$を展開すると，$x^2{y}^2$の係数は$\boxed{\text{ク}}$である．また，$x^4\text{，}{x}^{3}y\text{，}{x}^2{y}^2\text{，}x{y}^3\text{，}{y}^4$の係数の和は$\boxed{\text{ケ}}$である．

　${(\sqrt{6}x-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}x}})}^6$を展開すると，定数項は$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　分母が$2$の累乗で分子が奇数の分数のうち，正で$1$より小さいものを並べて下のような数列を作る．

${\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{4}}\text{，}{\displaystyle \frac{3}{4}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{8}}\text{，}{\displaystyle \frac{3}{8}}\text{，}{\displaystyle \frac{5}{8}}\text{，}{\displaystyle \frac{7}{8}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{16}}\text{，}\cdots \text{，}{\displaystyle \frac{15}{16}}\text{，}\cdots$

分母が$2^n$の項全体を第$n$群と呼ぶ．一般に，第$n$群を${\displaystyle \frac{1}{2^n}}\text{，}{\displaystyle \frac{3}{2^n}}\text{，}\cdots \text{，}{\displaystyle \frac{2^n-1}{2^n}}$のように小さい順に並べた直後に第$n+1$群を小さい順に並べる．

　第$4$群は$\boxed{\text{ア}}$個の項からなり，第$4$群に属するすべての項の和は$\boxed{\text{イ}}$である．第$n$群は$\boxed{\text{ウ}}$個の項からなり，第$n$群に属するすべての項の和は$\boxed{\text{エ}}$である．初項${\displaystyle \frac{1}{2}}$から第$n$群の最後の項までのすべての項の和を$S_n$とすると$S_n=\boxed{\text{オ}}$である．

　第$n$群の最初の項は，この数列全体の第$\boxed{\text{カ}}$項である．第$2018$項は第$\boxed{\text{キ}}$群に属する．

(2)　上の数列の各項を$2$乗して，下のような新しい数列を作る．

${\displaystyle \frac{1^2}{2^2}}\text{，}{\displaystyle \frac{1^2}{4^2}}\text{，}{\displaystyle \frac{3^2}{4^2}}\text{，}{\displaystyle \frac{1^2}{8^2}}\text{，}{\displaystyle \frac{3^2}{8^2}}\text{，}{\displaystyle \frac{5^2}{8^2}}\text{，}{\displaystyle \frac{7^2}{8^2}}\text{，}{\displaystyle \frac{1^2}{{16}^2}}\text{，}\cdots \text{，}{\displaystyle \frac{{15}^2}{{16}^2}}\text{，}\cdots$

分母が$2^{2n}$の項全体をこの数列の第$n$群と呼ぶ．第$n$群に属するすべての項の和を$T_n$とし，初項${\displaystyle \frac{1^2}{2^2}}$から第$n$群の最後の項までのすべての項の和を$U_n$とすると

$T_n={\displaystyle \frac{1}{6}}(\boxed{\text{ク}})\text{，}$

$U_n={\displaystyle \frac{1}{6}}(\boxed{\text{ケ}})$

である．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{S_n}{U_n}}=\boxed{\text{コ}}$である．

【３】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

　関数$f(x)=(1+\sin x)\cos x$を考える．

(1)　$f^{\prime }(x)=(1+\sin x)(1-\boxed{\text{ア}}\sin x)\text{，}{f}^{″}(x)=-\cos x(1+\boxed{\text{イ}}\sin x)$である．

　$0<x<2\pi$においては，$f(x)$は$x=\boxed{\text{ウ}}$のとき最小値をとり，曲線$y=f(x)$の変曲点は$\boxed{\text{エ}}$個ある．

(2)　${\displaystyle \int }\sin x\cos xdx=\boxed{\text{オ}}\cos 2x+C_1\text{，}{\displaystyle \int }{\sin }^{2}x{\cos }^{2}xdx={\displaystyle \frac{1}{8}}x-\boxed{\text{カ}}\sin 4x+C_2\text{，}{\displaystyle \int }x\sin x\cos xdx=-{\displaystyle \frac{x}{4}}\cos 2x+\boxed{\text{キ}}\sin 2x+C_3$である．ここで，$C_1\text{，}{C}_2\text{，}{C}_3$は積分定数である．

(3)　$xy$平面において，連立不等式$0\leqq y\leqq f(x)\text{，}0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$で表される領域を$D$とする．$D$の面積を$S$とする．また，$D$を$x$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積を$V\text{，}y$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積を$W$とする．このとき，$S=\boxed{\text{ク}}\text{，}V=\boxed{\text{ケ}}\text{，}W=\boxed{\text{コ}}$である．

【４】　原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周上に点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$がある．線分$\mathrm{AB}$を$4:5$に内分する点を$\mathrm{D}$とするとき，点$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{O}\text{，}\mathrm{C}$はこの順に$1$直線上にあり，$\mathrm{OD}={\displaystyle \frac{1}{3}}$を満たしている．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$で表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OD}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(3)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．また，線分$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．

(4)　$\angle \mathrm{BOC}$と$\angle \mathrm{BAC}$を求めよ．また，三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．