2018　関西学院大　理系関学独自入試2月5日実施

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$i$を虚数単位とし，$p\text{，}q$を実数の定数とする．方程式

$x^3+p{x}^2+qx-4=0\cdots$(＊)

が$x=1+i$を解にもつとき，$p=\boxed{\text{ア}}\text{，}q=\boxed{\text{イ}}$である．また，方程式(＊)は$x=1+i$の他に虚数解$x=\boxed{\text{ウ}}$と実数解$x=\boxed{\text{エ}}$をもつ．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　$1$より大きい実数$a$が${\log }_a(a+6)-2{\log }_{a+6}a=1$を満たしている．$t={\log }_a(a+6)$とおくと，$t$は$2$次方程式$\boxed{\text{オ}}=0$の解である．これより，$t=\boxed{\text{カ}}\text{，}a=\boxed{\text{キ}}$である．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(3)　$x>0$のとき$x+{\displaystyle \frac{1}{x}}$の最小値は$\boxed{\text{ク}}$であり，$x>0\text{，}y>0$のとき$(x+{\displaystyle \frac{1}{y}})(y+{\displaystyle \frac{4}{x}})$の最小値は$\boxed{\text{ケ}}$である．

　また，$x$が任意の実数値をとるとき${\displaystyle \frac{x+2}{x^2+2x+16}}$の最大値は$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

　$0\leqq \theta <2\pi$とする．$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に$2$点$\mathrm{P}(\cos \theta ,\sin \theta ,0)\text{，}\mathrm{Q}(\cos 2\theta ,\sin 2\theta ,\sqrt{1-\sin \theta })$がある．

(1)　線分$\mathrm{OQ}$の長さは，$t$の$1$次関数$f(t)=\boxed{\text{ア}}$を用いて$\mathrm{OQ}=\sqrt{f(\sin \theta )}$と表せる．

　$\angle \mathrm{POQ}$が直角となるような$\theta$の値のうちで小さい方は$\theta =\boxed{\text{イ}}$である．

　三角形$\mathrm{OPQ}$の面積$S$は，$t$の$2$次関数$g(t)=\boxed{\text{ウ}}$を用いて$S={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{g(\sin \theta )}$と表せる．$S$は$\theta =\boxed{\text{エ}}$のとき最大値$\boxed{\text{オ}}$をとる．また，最小値は$\boxed{\text{カ}}$であり，そのときの$\theta$の値のうち大きい方は$\boxed{\text{キ}}$である．

(2)　$\theta =\boxed{\text{エ}}$とする．原点から線分$\mathrm{PQ}$に垂線$\mathrm{OH}$を下ろすと，その長さは$\mathrm{OH}=\boxed{\text{ク}}$である．三角形$\mathrm{OPQ}$を辺$\mathrm{PQ}$の周りに$1$回転してできる立体の体積は$\boxed{\text{ケ}}$であり，表面積は$\boxed{\text{コ}}$である．　

【３】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

　黒い袋には黒球$7$個と白球$3$個，白い袋には黒球$3$個と白球$7$個が入っている．片方の袋から球を$1$個取り出して元に戻す試行を繰り返す．$1$回目は黒い袋から球を$1$個取り出し，元に戻す．$2$回目は$1$回目に取り出した球と同じ色の袋から球を$1$個取り出し，元に戻す．以下同様に，$n+1$回目は$n$回目に取り出した球と同じ色の袋から球を$1$個取り出し，元に戻す．$n$回目に取り出した球の色が黒である確率を$p_n\text{，}$白である確率を$q_n$とする．

(1)　$p_1\text{，}{p}_2\text{，}{q}_2\text{，}{p}_3$はそれぞれ$p_1=\boxed{\text{ア}}\text{，}{p}_2=\boxed{\text{イ}}\text{，}{q}_2=\boxed{\text{ウ}}\text{，}{p}_3=\boxed{\text{エ}}$となる．

(2)　$p_{n+1}$を$p_n$の式で表すと$p_{n+1}=\boxed{\text{オ}}$が成り立つ．また，数列$\{p_n-{\displaystyle \frac{1}{2}}\}$は，初項$\boxed{\text{カ}}\text{，}$公比$\boxed{\text{キ}}$の等比数列となる．よって，$p_n$を$n$の式で表すと$p_n=\boxed{\text{ク}}$となる．また，$\underset{n\to \infty }{\lim }{p}_n=\boxed{\text{ケ}}$である．

(3)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{p}_k$を$n$の式で表すと${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{p}_k=\boxed{\text{コ}}$となる．

【４】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{2x}{x^2+1}}$について，曲線$y=f(x)\text{（}x\geqq 0\text{）}$を$C$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$f^{\prime }(x)$および$f^{″}(x)$を求めよ．

(2)　$x>0$における曲線$C$の変曲点の座標を求めよ．また，その変曲点における$C$の接線$l$の方程式を求めよ．

(3)　曲線$C$と$x$軸および直線$x=1$で囲まれる部分の面積を求めよ．

(4)　曲線$C$と直線$l$および$x$軸で囲まれる部分を$x$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．