2018　関西学院大　神,商,国際,教育,総合政策学部個別日程2月6日実施

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　右の表はある変量$x$の$6$つの数値データをまとめたものである．

　ここで，$a\text{，}b$は共に実数で，$a\geqq b$である．変量$x$のデータの平均値は${\displaystyle \frac{31}{6}}$であるとする．このとき，$b$を$a$で表すと，$b=\boxed{\text{ア}}$である．

(ⅰ)　変量$x$のデータの分散が${\displaystyle \frac{437}{36}}$であるとき，$a=\boxed{\text{イ}}$である．

(ⅱ)　変量$x$のデータの分散が最小となるのは，$a=\boxed{\text{ウ}}$のときであり，このときの分散は$\boxed{\text{エ}}$である．$a=\boxed{\text{ウ}}$のとき，変量$x$から$y=-6x+5$によって新たな変量$y$を作ると，変量$y$のデータの標準偏差は$\boxed{\text{オ}}$である．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　$a$を実数とし，直線$y=a(x+3)$を$l\text{，}$放物線$y=x^2+2$を$C$とする．

(ⅰ)　直線$l$と放物線$C$が少なくとも$1$つの共有点をもつとき，$a$のとりうる値の範囲は，$a\leqq \boxed{\text{カ}}\text{，}a\geqq \boxed{\text{キ}}$である．

(ⅱ)　直線$l$と放物線$C$が異なる$2$つの共有点をもち，それらの$x$座標が$2$つとも$-1\leqq x\leqq 2$の範囲にあるとき，$a$のとりうる値の範囲は，$\boxed{\text{キ}}<a\leqq \boxed{\text{ク}}$である．$2$つの共有点の$x$座標の小さい方を$b$とする．$a$が$\boxed{\text{キ}}<a\leqq \boxed{\text{ク}}$の範囲を動くとき，$b$の最小値は$\boxed{\text{ケ}}$である．

(ⅲ)　直線$l$と放物線$C$が異なる$2$つの共有点をもち，そのうち少なくとも$1$つの共有点の$x$座標が$-1\leqq x\leqq 2$の範囲にあるとき，$a$のとりうる値の範囲は，$\boxed{\text{キ}}<a\leqq \boxed{\text{コ}}$である．

【２】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$a\text{，}b$を実数とし，$2$次方程式$x^2+ax+b=0$は$-1+i$を解にもつとする．ここで，$i$は虚数単位である．このとき，$a=\boxed{\text{ア}}\text{，}b=\boxed{\text{イ}}$である．さらに，$c\text{，}d$を実数とし，整式$P(x)=c{x}^3-10x^2+12x+d$を$x^2+ax+b$で割ったときの余りが$-2x+1$であったとすると$c=\boxed{\text{ウ}}\text{，}d=\boxed{\text{エ}}$である．このとき，$P(-1-i)$の値は$\boxed{\text{オ}}$である．

【２】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　座標空間に$3$点$\mathrm{A}(1,0,-1)\text{，}\mathrm{B}(2,-1,3)\text{，}\mathrm{C}(-1,2,1)$をとり，$\angle \mathrm{BAC}=\theta$とおく．このとき，$\cos \theta =\boxed{\text{カ}}\text{，}\sin \theta =\boxed{\text{キ}}$であり，$▵\mathrm{ABC}$の面積は$\boxed{\text{ク}}$である．また，点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に下ろした垂線を$\mathrm{AH}$とすると，$\overrightarrow{\mathrm{BH}}=\boxed{\text{ケ}}\overrightarrow{\mathrm{BC}}$と表され，点$\mathrm{H}$の座標は$\boxed{\text{コ}}$である．ただし，$\boxed{\text{カ}}\text{，}\boxed{\text{キ}}\text{，}\boxed{\text{ク}}\text{，}\boxed{\text{ケ}}$は数値である．また，$\boxed{\text{コ}}$は$(\alpha ,\beta ,\gamma )$の形（$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$は実数）で答えよ．

【３】　関数$f(x)=3x^3-11x^2+8x$について，次の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)$の増減表を書き，その極値をすべて求めよ．

(2)　$a>0$とする．放物線$y=-a{x}^2+x$と曲線$y=f(x)$が異なる$3$つの共有点をもつとき，$a$のとりうる値の範囲を求めよ．

(3)　放物線$y=-x^2+x$と曲線$y=f(x)$で囲まれた$2$つの部分の面積の和を求めよ．