2018　関西学院大　社会,法学部個別日程2月7日実施

(1)　$▵\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=3\text{，}\mathrm{AC}=8\text{，}\angle \mathrm{BAC}=60\mathrm{°}$とする．このとき，$\mathrm{BC}=\boxed{\text{ア}}$である．また，$▵\mathrm{ABC}$の面積は$\boxed{\text{イ}}$であり，点$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{BC}$に下ろした垂線を$\mathrm{AH}$とすると，$\mathrm{AH}=\boxed{\text{ウ}}$である．さらに，$▵\mathrm{ABC}$の外接円の半径は$\boxed{\text{エ}}$であり，内接円の半径は$\boxed{\text{オ}}$である．

(2)　$n$は$2$以上の自然数であるとする．実数$A$が

$A=a_m{n}^m+a_{m-1}{n}^{m-1}+\cdots +a_{1}n+a_0$

（$a_m\text{，}\cdots \text{，}{a}_0$は$0$以上$n-1$以下の整数で，$a_m\ne 0$）と表されるとき，$A$は$n$進法で表すと$m+1$桁の数であるといい，${A=a_m{a}_{m-1}\cdots a_1{a}_0}_{(n)}$と記す．例えば，$38=1\times 5^2+2\times 5+3={123}_{(5)}$である．また，$0<A<1$である実数$A$が

$A={\displaystyle \frac{a_1}{n}}+{\displaystyle \frac{a_2}{n^2}}+\cdots +{\displaystyle \frac{a_{m-1}}{n^{m-1}}}+{\displaystyle \frac{a_m}{n^m}}$

（$a_m\text{，}\cdots \text{，}{a}_1$は$0$以上$n-1$以下の整数で，$a_m\ne 0$）と表されるとき，$n$進法の小数表示では${A=0.a_1{a}_2\cdots a_{m-1}{a}_m}_{(n)}$と記す．例えば，${\displaystyle \frac{66}{343}}={\displaystyle \frac{1}{7}}+{\displaystyle \frac{2}{7^2}}+{\displaystyle \frac{3}{7^3}}={0.123}_{(7)}$である．このとき，次の問いに答えよ．

　$5$進法で表すと$4$桁となるような自然数のうち最大のものを$10$進法で表すと$\boxed{\text{カ}}$となる．また，$10$進法で表された数$0.312$を$5$進法の小数で表すと$\boxed{\text{キ}}$となる．

　$7$進法で表すと$3$桁の数${bbb}_{(7)}$となるような自然数$M$について，$M$を$5$で割ったときの余りが$3$であったとすると，$b=\boxed{\text{ク}}\text{，}M=\boxed{\text{ケ}}$である．また，$N$を自然数とし，分数${\displaystyle \frac{N}{N+1}}$を$7$進法の小数で表すと${0.cc}_{(7)}$になったとすると，$N=\boxed{\text{コ}}$である．ただし，$\boxed{\text{ケ}}\text{，}\boxed{\text{コ}}$は$10$進法で表せ．

(1)　$a$は定数で，$0<a<1$とする．関数

$y=a^{3x}+a^{-3x}-24(a^x+a^{-x})+81\text{（}x\geqq 0\text{）}\cdots \text{①}$

について考える．$t=a^x+a^{-x}$とおく．このとき，$t$の最小値は$\boxed{\text{ア}}$である．また，$y$を$t$の式で表すと$y=\boxed{\text{イ}}$である．$t\geqq \boxed{\text{ア}}$の範囲で$\boxed{\text{イ}}$の値が最小になるのは$t=\boxed{\text{ウ}}$のときである．よって，関数$\text{①}$の最小値は$\boxed{\text{エ}}$であり，そのときの$a^x$の値は$\boxed{\text{オ}}$である．

(2)　$d$は定数であるとする．数列$\{a_n\}$を

$a_1=d\text{，}{a}_{n+1}={\displaystyle \frac{4}{3}}{a}_n-1\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

によって定める．このとき，数列$\{a_n-3\}$の公比が$\boxed{\text{カ}}$の等比数列であることから，$\{a_n\}$の一般項は，$n$と$d$を用いて，$a_n=\boxed{\text{キ}}$と表される．

　また，数列$\{b_n\}$を

$b_1=11\text{，}{b}_{n+1}={\displaystyle \frac{4}{3}}{b}_n-n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

によって定める．$c_n=b_{n+1}-b_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$によって数列$\{c_n\}$を定めると，$\{c_n\}$の一般項は$c_n=\boxed{\text{ク}}$であるから，$\{b_n\}$の一般項は$b_n=\boxed{\text{ケ}}$である．また，不等式$b_n<b_{n+1}$を満たす$n$の最大値は$\boxed{\text{コ}}$である．なお，近似値として${\log }_{10}2=0.301\text{，}{\log }_{10}3=0.477$を用いてよい．

(1)　曲線$C_2$の方程式を求めよ．また，曲線$C_1$と曲線$C_2$の交点を$\mathrm{P}(x_0,y_0)$とするとき，点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(2)　$a$は実数であるとする．点$\mathrm{P}$を通り，傾きが$a$の直線を$l$とする．直線$l$が，曲線$C_1$と$x<x_0$の範囲で共有点をもち，かつ曲線$C_2$と$x>x_0$の範囲で共有点をもつとき，$a$のとりうる値の範囲を求めよ．

(3)　$a$は(2)で求めた範囲にあるとする．直線$l$と曲線$C_1$で囲まれた図形の面積を$S_1(a)\text{，}$直線$l$と曲線$C_2$で囲まれた図形の面積を$S_2(a)$とするとき，$a$を用いてそれらの和$S(a)=S_1(a)+S_2(a)$を表せ．

(4)　$S(a)$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．