2019　京都大学　前期

【１】　次の各問に答えよ．

問１　$a$は実数とする．$x$に関する整式$x^5+2x^4+a{x}^3+3x^2+3x+2$を整式$x^3+x^2+x+1$で割ったときの商を$Q(x)\text{，}$余りを$R(x)$とする．$R(x)$の$x$の$1$次の項の係数が$1$のとき，$a$の値を定め，さらに$Q(x)$と$R(x)$を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．

問２　${8.94}^{18}$の整数部分は何桁か．また最高位からの$2$桁の数字を求めよ．例えば，$12345.6789$の最高位からの$2$桁は$12$を指す．

注）常用対数表添付

【２】　$a$は実数とし，$b$は正の定数とする．$x$の関数$f(x)=x^2+2(ax+b\left|x\right|)$の最小値$m$を求めよ．さらに，$a$の値が変化するとき，$a$の値を横軸に，$m$の値を縦軸にとって$m$のグラフをかけ．

【３】　$a\text{，}b\text{，}c$は実数とする．次の命題が成立するための，$a$と$c$がみたすべき必要十分条件を求めよ．さらに，この$(a,c)$の範囲を図示せよ．

命題：すべての実数$b$に対して，ある実数$x$が不等式$a{x}^2+bx+c>0$をみたす．

【４】　$1$つのさいころを$n$回続けて投げ，出た目を順に$X_1\text{，}{X}_2\text{，}\cdots \text{，}{X}_n$とする．このとき次の条件をみたす確率を$n$を用いて表せ．ただし$X_0=0$としておく．

条件：$1\leqq k\leqq n$をみたす$k$のうち，$X_{k-1}\leqq 4$かつ$X_k\geqq 5$が成立するような$k$の値はただ$1$つである．

【５】　半径$1$の球面上の$5$点$\mathrm{A}\text{，}{\mathrm{B}}_1\text{，}{\mathrm{B}}_2\text{，}{\mathrm{B}}_3\text{，}{\mathrm{B}}_4$は，正方形${\mathrm{B}}_1{\mathrm{B}}_2{\mathrm{B}}_3{\mathrm{B}}_4$を底面とする四角錐をなしている．この$5$点が球面上を動くとき，四角錐$\mathrm{A}{\mathrm{B}}_1{\mathrm{B}}_2{\mathrm{B}}_3{\mathrm{B}}_4$の体積の最大値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．

問１　$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．$\cos \theta$は有理数ではないが，$\cos 2\theta$と$\cos 3\theta$がともに有理数となるような$\theta$の値を求めよ．ただし，$p$が素数のとき，$\sqrt{p}$が有理数でないことは証明なしに用いてよい．

【１】　次の各問に答えよ．

問２　次の定積分の値を求めよ．

【２】　$f(x)=x^3+2x^2+2$とする．$|f(n)|$と$|f(n+1)|$がともに素数となる整数$n$をすべて求めよ．

【３】　鋭角三角形$\mathrm{ABC}$を考え，その面積を$S$とする．$0<t<1$をみたす実数$t$に対し，線分$\mathrm{AC}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{Q}\text{，}$線分$\mathrm{BQ}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{P}$とする．実数$t$がこの範囲を動くときに点$\mathrm{P}$の描く曲線と，線分$\mathrm{BC}$によって囲まれる部分の面積を，$S$を用いて表せ．

【６】　$i$は虚数単位とする．${(1+i)}^n+{(1-i)}^n>{10}^{10}$をみたす最小の正の整数$n$を求めよ．