2019　京都大学　特色入試総合人間学部

【１】　曲線$C\text{：}y=f(x)$を，実数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$に対し$f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$で定める．このとき，

$C$上に相異なる$2$点が存在し，各々の点における$C$の法線が一致する

ための必要十分条件を求めよ．

【２】　$a<-2$に対して，楕円$C_a\text{：}{x}^2+{\displaystyle \frac{{(y-a)}^2}{{(a+1)}^2}}=1$を考える．放物線$P\text{：}y=x^2$と楕円$C_a$の共通接線のうち，$P$上にある接点が第$1$象限内にある$2$本のみを考え，それら$2$本の接線と$\mathrm{P}$で囲まれる部分の面積を$S(a)$とする．

問１　$S(a)$を，$a$を用いて表せ．

問２　$\underset{a\to -\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{S(a)}{{(-a)}^{\beta }}}$が正の数となるような実数$\beta$を求めよ．また，その$\beta$に対して$\underset{a\to -\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{S(a)}{{(-a)}^{\beta }}}$を求めよ．