2019　京都大学　特色入試理学部

【１】　$a$を$2$以上の整数とし，有理数$b$を$b=1+{\displaystyle \frac{1}{a}}$により定める．自然数$n$に対して，

$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{k}^{\frac{1}{a}}$

とおく．ただし，$k^{\frac{1}{a}}$とは$a$乗すると$k$になる正の実数のことである．以下の設問に答えよ．

(1)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{S_n}{n^b}}={\displaystyle \frac{1}{b}}$を示せ．

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }(S_n-{\displaystyle \frac{n^b}{b}})=\infty$を示せ．

【２】　以下の設問に答えよ．ただし，$0!=1$とする．

(1)　$n$を自然数とする．$F(x)$は実数を係数とする$x$の$n$次以下の多項式であって，$m$が整数のとき$F(m)$がつねに整数となるものとする．このとき，次の性質(あ)，(い)を満たす実数$c_0\text{，}$$c_1\text{，}$$c_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$c_n$が存在することを示せ．

(あ)　次の式が$x$についての恒等式となる．

${\displaystyle \frac{F(x)}{(x+1)(x+2)\cdots (x+n)}}$$=c_0+{\displaystyle \frac{c_1}{x+1}}$$+{\displaystyle \frac{c_2}{(x+1)(x+2)}}$$+\cdots$$+{\displaystyle \frac{c_n}{(x+1)(x+2)\cdots (x+n)}}$

(い)　$0\leqq k\leqq n$を満たすすべての整数$k$について$(n-k)!c_k$は整数である．

(2)　$0$以上の整数$k$に対して，次の$k$次多項式$P_k(x)$を次のように定める．

$P_0(x)=1\text{，}$

$P_1(x)=x+1\text{，}$

$P_2(x)=(x+1)(x+3)\text{，}$

$⋮$

$P_k(x)=(x+1)(x+3)$$\cdots (x+2k-3)(x+2k-1)\text{，}$

$⋮$

また，$a\text{，}$$b$を$a\leqq b$を満たす$0$以上の整数とする．このとき，$x$についての次の恒等式が成り立つことを示せ．

${\displaystyle \frac{P_{a+b}(x)}{a!b!P_a(x)P_b(x)}}$$={\displaystyle \sum _{q=0}^a}{\displaystyle \frac{2^q}{q!(a-q)!(b-q)!P_q(x)}}$

【３】　$c$を正の実数とする，このとき，実数$q$に対して，次の条件により数列$x_1,$$x_2,$$x_3,$$\cdots$を定めることを考える．

(A)　$x_1=q\text{，}$(B)　$x_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2c-x_n}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

ここで，ある自然数$k$に対して$x_k=2c$となる場合，$x_{k+1}$の値を漸化式(B)によって定義することはできないので，このときは上記の数列を第$k$番目の項$x_k$で停止させ，これをこの数列の末項とする．このように，条件(A)，(B)により定まる数列において，ある自然数$k$について$x_k=2c$となるとき，$q$を漸化式(B)の不都合な初項と呼ぶことにする．例えば$q=2c$のとき，$x_1=2c$となるので，$2c$は漸化式(B)の不都合な初項である．以下の設問に答えよ．

(1)　$c>1$ならば，漸化式(B)の不都合な初項は無限に多く存在することを示せ．

(2)　$c>1$とする．実数$q$が漸化式(B)の不都合な初項であるとき，次の不等式を示せ．

$c+\sqrt{c^2-1}<q\leqq 2c$

(3)　次の命題(P)が成り立つような実数$c$が$0<c<1$の範囲に存在することを示せ．

(P)　任意に自然数$M$を与えるとき，漸化式(B)の不都合な初項$q$であって，不等式

$\left|q\right|>M$

を満たすものが存在する．

【４】　$n$を自然数とする．整数$k$に関する次の条件(C)，(D)を考える．

(C)　$0\leqq k<n\text{，}$

(D)　${\displaystyle \frac{k}{n}}\leqq {\displaystyle \frac{1}{m}}<{\displaystyle \frac{k+1}{n}}$を満たす自然数$m$が存在する．

条件(C)，(D)を満たす整数$k$の個数を$T_n$とする．以下の設問に答えよ．

(1)　$T_{50}$を求めよ．

(2)　次の極限値を求めよ．

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\log T_n}{\log n}}$