2019　関西学院大　理工学部全学日程

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　複素数$z=\sqrt{3}+i$の絶対値は$\boxed{\text{ア}}$であり，$z$の偏角$\theta$は，$0\leqq \theta <2\pi$の範囲で考えると$\theta =\boxed{\text{イ}}$である．また，$z^6=\boxed{\text{ウ}}\text{，}$$z^3+{\displaystyle \frac{1}{z^3}}=\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　${\displaystyle \frac{-7x^2+11x-16}{x{(x-1)}^2}}={\displaystyle \frac{a}{x}}+{\displaystyle \frac{b}{x-1}}+{\displaystyle \frac{c}{{(x-1)}^2}}$が$x$についての恒等式となるように定数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を定めると，$a=\boxed{\text{オ}}\text{，}$$b=\boxed{\text{カ}}\text{，}$$c=\boxed{\text{キ}}$である．

【１】 　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(3)　$\left|x\right|<1$のとき$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x^n+3}{x^{n+1}+1}}=\boxed{\text{ク}}$であり，$\left|x\right|>1$のとき$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x^n+3}{x^{n+1}+1}}=\boxed{\text{ケ}}$である．また，極限$\underset{n\to \infty }{\lim }(\sqrt{n^2+n}-n)$の値は$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

　$1$辺の長さが$1$の正五角形$\mathrm{ABCDE}$において，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\overrightarrow{b}$とし，対角線の長さを$x$とする．各対角線は$5$つの辺のうちどれかと平行である．

　$\mathrm{BD}=x$より$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$x$で表すと$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{a}+\boxed{\text{ア}}$であり，$\mathrm{BE}=x$より内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$を$x$で表すと$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\boxed{\text{イ}}$である．以上のことと$\mathrm{AD}=x$を合わせて用いると，$x$は$3$次方程式

$x^3-\boxed{\text{ウ}}x-1=0$

を満たすことがわかる．ゆえに$x=\boxed{\text{エ}}$である．また，$x^2=\boxed{\text{オ}}\text{，}$$x^3=\boxed{\text{カ}}\text{，}$${(x+2)}^3=\boxed{\text{キ}}$である．

　$\cos {\displaystyle \frac{3\pi }{5}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{4}}\text{，}$$\sin {\displaystyle \frac{3\pi }{5}}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ケ}}}}{4}}$であり，正五角形$\mathrm{ABCDE}$の面積は${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{コ}}}}{4}}$である．

【３】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

　$1$つの箱の中に，$1$から$n$までの数が$1$つずつ書かれた$n$個の球が入っている．この箱から，球を$1$個ずつ無作為に$n$個すべて取り出す．$1\leqq i\leqq n$のとき$i$個目に取り出した球に書かれた数を$N_i$とする．すべての$i$に対して$N_i\ne i$であるような球の取り出し方の総数を$Y_n$とする．

(1)　$n=2$のとき，$N_i=1\text{，}$$N_2=2$となる確率は$\boxed{\text{ア}}$であり，$n=3$のとき，$N_1=1\text{，}$$N_2=2\text{，}$$N_3=3$となる確率は$\boxed{\text{イ}}$である．

(2)　$Y_2=\boxed{\text{ウ}}\text{，}$$Y_3=\boxed{\text{エ}}$である．

(3)　$n=4$とする．$N_4\ne 4$である$N_4$は$\boxed{\text{オ}}$通りある．

$N_k\ne k$$\text{（}k=1\text{，}$$2\text{），}$$N_3=4\text{，}$$N_4=3$となる取り出し方は(2)より$\boxed{\text{カ}}$通りあり，

$N_k\ne k$$\text{（}k=1\text{，}$$2\text{），}$$N_3\ne 4\text{，}$$N_4=3$となる取り出し方の個数は，$N_k\ne k$$\text{（}k=1\text{，}$$2\text{），}$$N_3=3\text{，}$$N_4\ne 4$となる取り出し方の個数と同じであり，(2)と同様に$\boxed{\text{キ}}$通りある．

$N_4=3$以外の場合も同様に考えることができるので，$Y_n=\boxed{\text{ク}}$である．

(4)　$n\geqq 3$のとき，$Y_n$を$Y_{n-1}$と$Y_{n-2}$で表すと$Y_n=\boxed{\text{ケ}}$である．

(5)　$n=7$のとき，ちょうど$1$つの$i$に対して$N_i=i$となる確率は$\boxed{\text{コ}}$である．

【４】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{\log x}{x}}$$\text{（}x>0\text{）}$について次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$の極値を求めよ．また，曲線$y=f(x)$の変曲点の座標を求めよ．

(2)　原点から曲線$y=f(x)$に引いた接線の方程式を求めよ．

(3)　不定積分${\displaystyle \int }f(x)\mathit{dx}\text{，}$${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{\log x}{x}}\mathit{dx}\text{，}$${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{{(\log x)}^2}{x^2}}\mathit{dx}$を求めよ．

(4)　上の(2)で求めた接線，曲線$y=f(x)$および$x$軸で囲まれた部分を$T$とするとき，$T$の面積$S$を求めよ．また，$T$を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．