2019　関西学院大　文系学部全学日程2月2日実施

(1)　$a$を実数とする．$2$次方程式$-3x^2+4ax-a^2-2=0$が$1<x<2$の範囲に$2$つの実数解をもつとき，$a$の取りうる値の範囲は$\boxed{\text{ア}}<a<\boxed{\text{イ}}$である．さらにその$2$つの実数解のうちの$1$つが${\displaystyle \frac{3}{2}}$であるとき，$a$の値は$a=\boxed{\text{ウ}}$である．

(2)　関数

$y=2\sin \theta \cos \theta$$-2\sin \theta -2\cos \theta -3$$\text{（}0\leqq \theta <2\pi \text{）}$

を考える．$x=\sin \theta +\cos \theta$とおいて$y$を$x$の式で表すと$y=\boxed{\text{エ}}$である．$y$は$\theta =\boxed{\text{オ}}$のとき最大値$\boxed{\text{カ}}$をとる．また，$y$は最小値$\boxed{\text{キ}}$をとる．

(1)(ⅰ)　サイコロ$1$個を$4$回投げたとき$6$の目が$2$回出る確率は$\boxed{\text{ア}}$である．

(ⅱ)　$n$を$2$以上の自然数とする．サイコロ$1$個を$n$回投げたとき$6$の目が少なくとも$2$回出る確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}}{6^n}}$である．

(ⅲ)　条件「サイコロ$1$個を$n$回投げたとき$6$の目が少なくとも$1$回出る確率が$0.9$以上である」を満たす自然数$n$の最小値は$\boxed{\text{ウ}}$である．ただし，${\log }_{10}2=0.301\text{，}$${\log }_{10}3=0.477$とする．

(2)　$\mathrm{▵OAB}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおくとき，$\left|\overrightarrow{a}\right|=7\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=5$であり，また$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$は$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=5$であるとする．このとき$\mathrm{AB}=\boxed{\text{エ}}$である．辺$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{P}$を，線分$\mathrm{OP}$が$\mathrm{\angle AOB}$の$2$等分線になるようにとると，点$\mathrm{P}$は辺$\mathrm{AB}$を$\mathrm{OA}:\mathrm{OB}$に内分するから

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\boxed{\text{オ}}\overrightarrow{a}+\boxed{\text{カ}}\overrightarrow{b}$

である．また，$\mathrm{▵OAB}$の内心を$\mathrm{Q}$とすると，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\boxed{\text{キ}}\overrightarrow{\mathrm{OP}}$である．

(1)　直線$y=2x-2$上の点$\mathrm{A}$$(a,2a-2)$から放物線$C$に$2$本の接線を引くことができることを示せ．

(2)　点$\mathrm{A}$$(a,2a-2)$から放物線$C$に引いた$2$本の接線の接点の$x$座標を$p\text{，}$$q$とする．ただし$p<q$とする．このとき，$p+q\text{，}$$pq$および$q-p$を$a$の式で表せ．

(3)　放物線$C$と点$\mathrm{A}$$(a,2a-2)$から$C$に引いた$2$本の接線で囲まれた図形の面積$S$を$a$の式で表せ．

(4)　点$\mathrm{A}$が直線$y=2x-2$上を動くとき，(3)で求めた$S$を最小にする$a$の値とそのときの$S$の値を求めよ．