2019　関西学院大　文学部個別日程2月3日実施

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$\mathrm{▵ABC}$において，$\mathrm{AB}=7\text{，}$$\mathrm{AC}=8\text{，}$$\mathrm{BC}=9$とする．このとき，$\cos \mathrm{\angle BAC}=\boxed{\text{ア}}$である．また，$\mathrm{▵ABC}$の面積は$\boxed{\text{イ}}$であり，内接円の半径は$\boxed{\text{ウ}}$である．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　関数

$y=-4+{({\log }_2{\displaystyle \frac{x}{2}})}^2+{\log }_{\frac{1}{2}}{x}^4$$({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\leqq x\leqq 4\sqrt{2})$

は$x=\boxed{\text{エ}}$で最小値$\boxed{\text{オ}}$をとり，$x=\boxed{\text{カ}}$で最大値$\boxed{\text{キ}}$をとる．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(3)　$1000$以下の自然数のうち，$4\text{，}$$5\text{，}$$6$のすべてで割り切れるものは$\boxed{\text{ク}}$個，$4$と$5$で割り切れるが$6$では割り切れないものは$\boxed{\text{ケ}}$個，$4\text{，}$$5\text{，}$$6$のうち少なくとも$1$つで割り切れるものは$\boxed{\text{コ}}$個である．

【２】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$a\text{，}$$b$を$0$と異なる実数とする．$xy$平面において直線$y=ax+b$に関して原点$\mathrm{O}$と対称な点を$\mathrm{A}$とする．点$\mathrm{A}$の座標を$a\text{，}$$b$を用いて表すと$\boxed{\text{ア}}$である．また，直線$y=-2x$に関して点$\mathrm{A}$と対称な点の座標が$(-1,-3)$であるとき$a=\boxed{\text{イ}}\text{，}$$b=\boxed{\text{ウ}}$である．

【２】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　条件

$\{\begin{array}{cc}{a}_1=0& \\ a_{n+1}=n(a_n+n!)& \text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}\end{array}$

によって定められる数列$\{a_n\}$がある．$b_n={\displaystyle \frac{a_n}{(n-1)!}}$とおく．ただし，$0!=1$とする．

(ⅰ)　$b_n$を$n$の式で表すと$b_n=\boxed{\text{エ}}$である．よって，$a_n$を$n$の式で表すと$a_n=\boxed{\text{オ}}$である．

(ⅱ)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{b}_k$および${\displaystyle \sum _{k=2}^n}{\displaystyle \frac{1}{b_k}}$を$n$の式で表すと

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{b}_k=\boxed{\text{カ}}\text{，}$${\displaystyle \sum _{k=2}^n}{\displaystyle \frac{1}{b_k}}=\boxed{\text{キ}}$

である．ただし，$\boxed{\text{カ}}$は$n$の式として因数分解した形で答えよ．

【３】　$a$を正の実数とする．$xy$平面において放物線$y=x^2$を$C_1\text{，}$放物線$y=x^2-4ax+4a(a+1)$を$C_2$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　放物線$C_1$と放物線$C_2$の共有点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(2)　$t$を実数とする．点$(t,t^2)$における放物線$C_1$の接線の方程式を求めよ．

(3)　(2)で求めた直線が放物線$C_2$と接するとき$t$の値を求めよ．

(4)　放物線$C_1$と放物線$C_2$の両方に接する直線を$l$とし，点$\mathrm{P}$を通り直線$l$に平行な直線を$m$とする．このとき，直線$m$と$y$軸との交点の$y$座標が正となるような$a$の値の範囲を求めよ．

(5)　$a$が(4)で求めた範囲にあるとき，放物線$C_1$の$x\geqq 0$である部分と直線$m$および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．