2019　関西学院大　教育(理系)，総合政策，理工学部個別日程

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{a}=(3,2)\text{，}$$\overrightarrow{b}=(2,1)\text{，}$$\overrightarrow{c}=(2,-1)$について，$s=\boxed{\text{ア}}$のとき$\overrightarrow{a}+s\overrightarrow{b}$は$\overrightarrow{c}$と垂直になる．このとき，$\overrightarrow{a}+s\overrightarrow{b}$の大きさは$\boxed{\text{イ}}$であり，$\overrightarrow{a}+s\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$の大きさは$\boxed{\text{ウ}}$である．また，$t=\boxed{\text{エ}}$のとき$\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$は$\overrightarrow{c}$と平行になる．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　$P(x)=x^4+3x^3+x^2+ax+b$が$x+1$で割り切れるとき，$b$を$a$で表すと$b=\boxed{\text{オ}}$である．さらに，$P(x)$が$x^2-1$で割り切れるとき，$a=\boxed{\text{カ}}$であり，$4$次方程式$P(x)=0$の解のうちで最も小さいものは$x=\boxed{\text{キ}}$である．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(3)　$2^{x+2}+2^{-x+1}-9=0$は正の解$x=\boxed{\text{ク}}$と負の解$x=\boxed{\text{ケ}}$をもつ．また，$2^{x+2}+2^{-x+1}-a=0$が解をもつような$a$の範囲は$a\geqq \boxed{\text{コ}}$である．

【２】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

　$1$枚の硬貨を$n$回投げるとき，表が$m$回以上出て，そのうちちょうど$m$回が連続する確率を$P_m$とする．ただし，$m$は${\displaystyle \frac{n}{2}}$以上の自然数である．

$n=10\text{，}$$m=5$の例：表を○，裏を×で表すとき，○○×○○○○○×○と出たら，表は$8$回出て，そのうちちょうど$5$回が連続している．

(1)　$n=4$のとき，$P_4=\boxed{\text{ア}}\text{，}$$P_3=\boxed{\text{イ}}$である．

次に，$P_2$を求めるためには，表がちょうど$2$回連続するのは第$1$回と第$2$回の場合，第$2$回と第$3$回の場合，第$3$回と第$4$回の場合に分けて考えればよく，結局$P_2=\boxed{\text{ウ}}$が分かる．

(2)　$n=5$のとき，$P_4=\boxed{\text{エ}}\text{，}$$P_3=\boxed{\text{オ}}$である．

(3)　$n\geqq 6$のとき，$P_{n-1}=\boxed{\text{カ}}\text{，}$$P_{n-2}=\boxed{\text{キ}}\text{，}$$P_{n-3}=\boxed{\text{ク}}$である．また，$n-3$回以上連続して表が出る確率は$\boxed{\text{ケ}}$である．

(4)　$1\leqq k\leqq {\displaystyle \frac{n}{2}}$のとき，$P_{n-k}=\boxed{\text{コ}}$である．

【３】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

　$0\leqq x\leqq 1$における$2$つの関数$f(x)$と$g(x)$を

$f(x)=\sqrt{1-x^2}\text{，}$$g(x)=2x\sqrt{1-x^2}$

とし，また$2$つの曲線$C_1$と$C_2$を，$C_1\text{：}y=f(x)\text{，}$$C_2\text{：}y=g(x)$とする．

(1)　$0<x<1$の範囲において，方程式$f(x)=g(x)$は，$1$つの解$x=\boxed{\text{ア}}$をもつ．

(2)　関数$f(x)$を微分すると，$f^{\prime }(x)=\boxed{\text{イ}}$であり，関数$g(x)$を微分すると，$g^{\prime }(x)=\boxed{\text{ウ}}$である．また，関数$g(x)$は，$x=\boxed{\text{エ}}$のとき，最大値$\boxed{\text{オ}}$をとる．

(3)　曲線$C_1$と直線$x=\boxed{\text{ア}}$および$x$軸で囲まれた部分を$D_1$とするとき，$D_1$の面積は$\boxed{\text{カ}}$である．$D_1$を$y$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積は$\boxed{\text{キ}}$である．

(4)　曲線$C_2$と$x$軸で囲まれた部分を$D_2$とするとき，$D_2$の面積は$\boxed{\text{ク}}$である．$y=g(x)$のとき，$x^2$を$y$の式で表すと$x^2={\displaystyle \frac{1\pm \boxed{\text{ケ}}}{2}}$である．$D_2$を$y$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積は$\boxed{\text{コ}}$である．

【４】　直線$l\text{：}y=mx+1$（$m$は実数の定数）と円$C\text{：}{x}^2+y^2={\left({\displaystyle \frac{3}{5}}\right)}^2$について次の問いに答えよ．

(1)　円$C$と直線$l$が共有点をもつとき，定数$m$の値の範囲を求めよ．

(2)　円$C$と直線$l$が相異なる$2$点で交わり，交点間の距離が${\displaystyle \frac{2}{5}}$であるとき，定数$m$の値を求めよ．

(3)　点$\mathrm{A}$が円$C$上を動くとき，定点$\mathrm{B}$$(2,0)$と点$\mathrm{A}$を結ぶ線分$\mathrm{AB}$の中点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．

(4)　直線$l$に関して原点$\mathrm{O}$$(0,0)$と対称な点$\mathrm{Q}$の座標を$m$を用いて表せ．また，$m$が実数全体を動くとき，点$\mathrm{Q}$の軌跡を求めよ．