2019　関西学院大　経済，国際，総合政策学部個別日程2月4日実施

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$\mathrm{▵ABC}$において$\mathrm{AB}=4\text{，}$$\mathrm{BC}=4\sqrt{5}\text{，}$$\mathrm{\angle BAC}=135\mathrm{°}$とする．このとき，辺$\mathrm{AC}$の長さは$\boxed{\text{ア}}$であり，$\mathrm{▵ABC}$の面積は$\boxed{\text{イ}}$である．また，$\mathrm{\angle BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とすると，$\mathrm{▵ABD}$の面積は$\boxed{\text{ウ}}$である．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　$1\text{，}$$2\text{，}$$3$の数字が書かれた玉がそれぞれ$1$個ずつ，合計$3$個入っている袋がある．次のようなゲームを考える．この袋から玉を$1$個取り出して数字を確かめてから元に戻す事を$3$回繰り返す．$1$回目，$2$回目，$3$回目に取り出した玉の数字をそれぞれ$a\text{，}$$b\text{，}$$c$とする．このとき得点$X$を

$a\leqq b\leqq c$のときは$X=a+b+c\text{，}$それ以外のときは$X=0$

により定める．

(ⅰ)　このゲームを$1$回行うとき$X=5$である確率は$\boxed{\text{エ}}\text{，}$$X=0$である確率は$\boxed{\text{オ}}$である．また，$X\geqq 5$であるとき$b=3$である条件付き確率は$\boxed{\text{カ}}$である．

(ⅱ)　このゲームを$2$回繰り返すとき，得点の合計が$7$である確率は$\boxed{\text{キ}}$である．

【２】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　${(x^2-4xy-3y^2)}^4$の展開式における$x^3{y}^5$の係数を求めたい．

(ⅰ)　二項定理より

である．ただし$\boxed{\text{ア}}$は数値である．

(ⅱ)　$\text{①}$の右辺の第$2$項$4{(x^2-4xy)}^3(-3y^2)$の展開式における$x^3{y}^5$の係数は$\boxed{\text{イ}}$である．

(ⅲ)　${(x^2-4xy-3y^2)}^4$の展開式における$x^3{y}^5$の係数は$\boxed{\text{ウ}}$である．

【２】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　$a$を正の定数とする．数列$\{a_n\}$は初項$a_1$が$a$である等差数列で，ある$2$以上の整数$N$に対して$a_N=0$を満たすとする．

(ⅰ)　$\{a_n\}$の一般項は

$a_n=a\cdot \boxed{\text{エ}}$

である．ただし$\boxed{\text{エ}}$は$N$と$n$の式である．また，公比が実数$r$で初項$b_1$が$a$である等比数列$\{b_n\}$が

$b_4=a_{28N-27}$

を満たすとき，$r=\boxed{\text{オ}}$である．ただし$\boxed{\text{オ}}$は数値である．

(ⅱ)　(ⅰ)において$\boxed{\text{オ}}+a=0$であるとする．このとき${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{b_k}}$および${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{k}{b_k}}$を$n$の式で表すと

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{b_k}}=\boxed{\text{カ}}\text{，}$${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{k}{b_k}}=\boxed{\text{キ}}$

である．

【３】　次の問いに答えよ．

(1)　$xy$平面において連立不等式

$\{\begin{array}{l}2y+x^2+2x-3\leqq 0\\ -2y+x^2+2y+1\leqq 0\end{array}$

が表す領域を$D_1$とする．このとき，$D_1$を図示し，その面積を求めよ．

(2)　$xy$平面において，次の条件を満たす点$(x,y)$全体から成る領域を$D_2$とする．

　このとき，$D_2$を図示し，その面積を求めよ．

(3)　点$(x,y)$が(2)で求めた領域$D_2$を動くとき$y-2x$の最大値を求めよ．