2019　関西学院大　理系関学独自入試2月5日実施

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$a$を実数の定数とする．$2$次方程式

$x^2-2ax+3a-2=0\cdots$(＊)

を考える．

　方程式(＊)が異なる$2$つの実数解をもつような定数$a$の値の範囲は$\boxed{\text{ア}}$である．

　方程式(＊)が正の解と負の解をもつような定数$a$の値の範囲は$\boxed{\text{イ}}$である．

　方程式(＊)が異なる$2$つの正の解をもつような定数$a$の値の範囲は$\boxed{\text{ウ}}$である．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　あたりくじ$5$本を含む$20$本のくじの中から，引いたくじはもとに戻さないで，$1$本ずつ$2$回続けてくじを引く．

　$1$本めが当たる確率は$\boxed{\text{エ}}$である．

　$2$本めが当たる確率は$\boxed{\text{オ}}$である．

　$2$本とも当たる確率は$\boxed{\text{カ}}$である．

　$1$本だけ当たる確率は$\boxed{\text{キ}}$である．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(3)　連立不等式

$x\geqq 0\text{，}$$y\geqq 0\text{，}$$x+2y\leqq 10\text{，}$$2x+y\leqq 14\cdots$(＊＊)

を考える．

　$x\text{，}$$y$が(＊＊)を満たすとき，$x+3y$がとりうる値の範囲は$\boxed{\text{ク}}\leqq x+3y\leqq \boxed{\text{ケ}}$である．

　$x\text{，}$$y$が(＊＊)を満たすとき，$2x+3y$の最大値は$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

　数列$\{a_n\}$は

$\begin{array}{cc}{a}_{n+1}{a}_n& =-{\displaystyle \frac{8}{3}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a_k}^2\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{），}\hfill \\ \hfill a_1& =-2\hfill \end{array}$

を満たすとする．このとき$a_2=\boxed{\text{ア}}\text{，}$$a_3=\boxed{\text{イ}}$である．$a_1$から$a_{2019}$までのうちで正の値をとる項は$\boxed{\text{ウ}}$項ある．

　上の漸化式と，$n$を$n+1$で置き換えてできる式とを比較すると，$a_{n+2}$を$a_{n+1}$と$a_n$の$1$次式で表すことができる．すなわち，定数$p\text{，}$$q$を$p=\boxed{\text{エ}}\text{，}$$q=\boxed{\text{オ}}$とすると

$a_{n+2}=p{a}_{n+1}+q{a}_n$

である．$x$の$2$次方程式$x^2=px+q$の整数解を$\alpha \text{，}$整数でない解を$\beta$とすると$\alpha =\boxed{\text{カ}}\text{，}$$\beta =\boxed{\text{キ}}$である．

　$b_n=a_{n+1}-\alpha a_n\text{，}$$c_n=a_{n+1}-\beta a_n$とおくと，数列$\{b_n\}\text{，}$$\{c_n\}$の一般項はそれぞれ

$b_n=\boxed{\text{ク}}\text{，}$$c_n=\boxed{\text{ケ}}$

であり，$\{a_n\}$の一般項は

$a_n=\boxed{\text{コ}}$

である．

【３】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

　関数$f(x)=\cos 3x+\cos x$$\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$を考える．

(1)　$f(0)=\boxed{\text{ア}}$である．$t=\cos x$とおく．$\cos 2x$を$t$の式で表すと$\boxed{\text{イ}}$であり，$\cos 3x$を$t$の式で表すと$\boxed{\text{ウ}}$である．また，$f(x)=0$を満たす$x$の最小の値を$\alpha$とすると，$\cos \alpha =\boxed{\text{エ}}\text{，}$$\alpha =\boxed{\text{オ}}$である．

(2)　曲線$y=f(x)$と直線$y=k$が相異なる$3$つの共有点をもつような定数$k$の範囲は$-\boxed{\text{カ}}<k<\boxed{\text{カ}}$である．

(3)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}}f(x)\tan x\mathit{dx}$の値は$\boxed{\text{キ}}$である．

(4)　曲線$y=f(x)$の変曲点のうち，$x$座標が$2$番目に大きな点の座標は$\boxed{\text{ク}}$である．この変曲点における曲線$y=f(x)$の接線の方程式は$y=\boxed{\text{ケ}}$である．曲線$y=f(x)\text{，}$接線$y=\boxed{\text{ケ}}$および直線$x={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$で囲まれた部分の面積は$\boxed{\text{コ}}$である．

【４】　$\mathrm{O}$を原点とする座標空間内の$3$点$\mathrm{A}$$(1,1,1)\text{，}$$\mathrm{B}$$(-1,1,2)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,0,1)$を考える．$2$つの実数$s$と$t$に対して

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$

を満たす点を$\mathrm{P}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$の大きさ$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|$および内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値を求めよ．また，三角形$\mathrm{OAB}$の面積$S$を求めよ．

(2)　平面$\mathrm{OAB}$上に点$(-1,-3,z)$があるとき，$z$の値を求めよ．

(3)　${\left|\overrightarrow{\mathrm{CP}}\right|}^2$の値を，$s$と$t$を用いて表せ．また，$t$を固定して考えたとき，${\left|\overrightarrow{\mathrm{CP}}\right|}^2$の値を最小にする$s$を$t$を用いて表せ．

(4)　${\left|\overrightarrow{\mathrm{CP}}\right|}^2$を最小にする$s$と$t$の値，および${\left|\overrightarrow{\mathrm{CP}}\right|}^2$の最小値を求めよ．

(5)　四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を求めよ．