2019　関西学院大　神,商,国際,教育,総合政策学部個別日程2月6日実施

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$a$を正の実数とする．$2$次関数

$y=-x^2+(a+1)x-a^2$

の$-1\leqq x\leqq 1$における最大値は

$0<a\leqq \boxed{\text{ア}}$のとき$\boxed{\text{イ}}\text{，}$$a>\boxed{\text{ア}}$のとき$\boxed{\text{ウ}}$

である．この最大値を$a$の関数と考えたとき，これが最大になるのは$a=\boxed{\text{エ}}$のときである．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　$1\text{，}$$2\text{，}$$3$の数字が書かれた玉がそれぞれ$1$個ずつ，合計$3$個袋$\mathrm{A}$に入っている．同様に$1\text{，}$$2\text{，}$$3$の数字が書かれた玉がそれぞれ$1$個ずつ，合計$3$個袋$\mathrm{B}$に入っている．この$2$つの袋から同時に玉を$1$個ずつ取り出し，それぞれの数字を確認して元に戻すゲームを考える．取り出した$2$個のたまの数字が同じであれば「大当たり」，$2$個の数字の大きいものから小さいものを引いた値が$1$であれば「当たり」とし，それ以外の場合を「はずれ」とする．このゲームを$3$回繰り返す．

(ⅰ)　大当たりが少なくとも$1$回出る確率は$\boxed{\text{オ}}$である．

(ⅱ)　大当たりが$1$回，当たりが$1$回，はずれが$1$回出る確率は$\boxed{\text{カ}}$である．

(ⅲ)　当たりと大当たりの両方がそれぞれ少なくとも$1$回出る確率は$\boxed{\text{キ}}$である．

【２】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　関数

$y={({\log }_3{\displaystyle \frac{x}{3}})}^2+{\log }_3{x}^3-{\displaystyle \frac{1}{2{\log }_{\sqrt{3}}x}}-{\displaystyle \frac{5}{4}}$$\text{（}x>0\text{，}$$x\ne 1\text{）}$

を考える．$t={\log }_{3}x$とおいて$y$を$t$の式で表すと$y=\boxed{\text{ア}}$となる．よって$y=0$を満たす$x$の値は$x=\boxed{\text{イ}}\text{，}$$\boxed{\text{ウ}}\text{，}$$\boxed{\text{エ}}$である．ただし$\boxed{\text{イ}}<\boxed{\text{ウ}}<\boxed{\text{エ}}$とする．

【２】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　平面上の$3$つのベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$は$\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{3}\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=1\text{，}$$\left|\overrightarrow{c}\right|=1\text{，}$$|\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}|=3$を満たす．また$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$は垂直であり，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{c}$の内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}$は$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}>0$であるとする．このとき，

(ⅰ)　$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\boxed{\text{オ}}$である．また，$\overrightarrow{c}=\boxed{\text{カ}}\overrightarrow{a}+\boxed{\text{キ}}\overrightarrow{b}$である．

(ⅱ)　$s\text{，}$$t$を実数とする．ベクトル$\overrightarrow{x}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$が

$0\leqq \overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{b}\leqq 3\text{，}$$0\leqq \overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{c}\leqq 10$

を満たしながら動くとき$\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{a}$は，$s=\boxed{\text{ク}}\text{，}$$t=\boxed{\text{ケ}}$において最大値$\boxed{\text{コ}}$をとる．$\boxed{\text{オ}}$から$\boxed{\text{コ}}$はすべて数値である．

【３】　$0$以上の実数$a$に対して

$f(a)={\displaystyle {\int }_0^1}|x^3-a^3|\mathit{dx}$

とする．次の問いに答えよ．

(1)　$f(a)$を求めよ．

(2)　関数$f(a)$の$a\geqq 0$における増減表を書き，関数$f(a)$が最大値・最小値をもつかどうか調べよ．また，最大値・最小値をもつならば，その値と，そのときの$a$の値を求めよ．