2019　関西学院大　社会,法学部個別日程2月7日実施

(1)　連立不等式

$\{\begin{array}{l}{x}^2+x-56<0\\ x^2-8x-9>0\end{array}$

の解は

$\boxed{\text{ア}}<x<\boxed{\text{イ}}$$\cdots \text{①}$

である．不等式$\text{①}$を満たす$x$に対して不等式$x^2-ax-6a^2>0$が成り立つような定数$a$のとり得る値の範囲は$\boxed{\text{ウ}}\leqq a\leqq \boxed{\text{エ}}$である．

(2)　$10$人の生徒に対して数学の小テストを実施した．採点をおこなったところ，点数の平均値は$8\text{，}$分散は$5.2$であった．このとき，この$10$人の点数を$x_1\text{，}$$x_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$x_{10}$とすると

${\displaystyle \sum _{i=1}^{10}}{(x_i)}^2=\boxed{\text{オ}}$

である．その後，この$10$人の点数のうち$2$人の点数が右のように修正された．

　$2$人の点数を修正した結果，この$10$人の点数の平均値は$\boxed{\text{カ}}\text{，}$分散は$\boxed{\text{キ}}$となる．

(1)　実数$t\text{，}$$x$が

${\log }_2(5-x)+{\log }_{\frac{1}{4}}(x-1)={\log }_{4}t$

を満たしているとする．このとき，$t$を$x$の分数式で表すと，$t=\boxed{\text{ア}}$となる．さらに$t$が

$9^t-28\cdot 3^{t-1}+3=0$

を満たしているとき，$t$と$x$の値を求めると，$t=\boxed{\text{イ}}\text{，}$$x=\boxed{\text{ウ}}$である．

(2)　$\mathrm{O}$を原点とする座標空間内の$3$点$\mathrm{A}$$(1,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,-2,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(1,1,3)$が定める平面を$\alpha$とする．

(ⅰ)　線分$\mathrm{BC}$を$s:(1-s)$に内分する点を$\mathrm{D}$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を$s$を用いて成分で表すと$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\boxed{\text{エ}}$である．次に$\mathrm{H}$を直線$\mathrm{AD}$上の点とし，$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=t\overrightarrow{\mathrm{AD}}$とおく．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$s$および$t$を用いて成分で表すと$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=\boxed{\text{オ}}$である．

(ⅱ)　(ⅰ)で定めた点$\mathrm{H}$に対して直線$\mathrm{OH}$が平面$\alpha$の垂線となるとき$s=\boxed{\text{カ}}\text{，}$$t=\boxed{\text{キ}}$である．

(1)　$f^{\prime }(x)$を$f(x)$の導関数とする．$x$についての方程式$f^{\prime }(x)=0$は$2$個の異なる実数解をもつことを示せ．

(2)　方程式$f^{\prime }(x)=0$の$2$つの解を$p\text{，}$$q$とする．ただし$p<q$とする．このとき，$p+q\text{，}$$pq\text{，}$$q-p$をそれぞれ$a$を用いて表せ．

(3)　(2)で定めた$p\text{，}$$q$に対して$f(p)-f(q)$を$a$の式で表せ．

(4)　(3)で求めた$a$の式を$g(a)$とする．$g(a)$が最小となるときの$a$の値とそのときの$g(a)$の値を求めよ．