2019　福岡大学　系統別日程理，工学系統2月2日実施

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　実数$x\text{，}$$y\text{，}$$z$は${\displaystyle \frac{y}{x}}:{\displaystyle \frac{z}{y}}:{\displaystyle \frac{x}{z}}=4:6:9$をみたしているとする．$x:y:z$を最も簡単な整数比で表すと$x:y:z=\text{(1)}$である．さらに${\displaystyle \frac{x^2}{2y-z}}+{\displaystyle \frac{y^2}{2z-x}}+{\displaystyle \frac{z^2}{2x-y}}=19$が成り立つとき，$x\text{，}$$y\text{，}$$z$の値を求めると$(x,y,z)=\text{(2)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　方程式$y=ax+a+1$で定まる直線を$l$とする．$4$点$\mathrm{O}$$(0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(2,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(2,2)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,1)$を頂点とする四角形$\mathrm{OABC}$と$l$が共有点をもつ$a$の値の範囲は$\text{(3)}$である．また，$l$が四角形$\mathrm{OABC}$の面積を$2$等分するとき，$a$の値は$\text{(4)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　$252$のすべての正の約数の平均を$m\text{，}$分散を$v$とするとき，${\displaystyle \frac{v}{m}}=\text{(5)}$であり，中央値は$\text{(6)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　空間の$2$点$\mathrm{A}$$(1,-1,2)\text{，}$$\mathrm{B}$$(2,1,3)$を通る直線を$l$とする．$l$と$zx$平面の交点の座標は$\text{(1)}$である．また，$l$上の点で原点$\mathrm{O}$との距離が最小である点の座標は$\text{(2)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$\mathrm{▵ABC}$において頂点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の角の大きさをそれぞれ$A\text{，}$$B\text{，}$$C$とする．$A-B={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$および$\cos A+\cos B={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$が成り立っているとき．$A=\text{(3)}$である．また辺$\mathrm{AC}$の長さが$6$のとき，$\mathrm{▵ABC}$の面積は$\text{(4)}$である．

【３】　$f(x)={\displaystyle \frac{x+1}{x-1}}$$\text{（}x>1\text{）}$とし，曲線$y=f(x)$を$C$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$C$上の点$(2,f(2))$における接線の方程式を求めよ．

(ⅱ)　曲線$C\text{，}$直線$l$および直線$x={\displaystyle \frac{7}{2}}$で囲まれた部分を，$x$軸のまわりに回転してできる回転体の体積を求めよ．