2019　福岡大学　系統別医（医学科）学部2月2日実施

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$11$桁の自然数$12345654321$に含まれる素因数で一番大きい数は$\text{(1)}$である．また，その数を$2$進数で表すと$\text{(2)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$n$人の得点$x_1\text{，}$$x_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$x_n$の平均を$\bar{x}\text{，}$分散を$v$とするとき，得点$x_i$$\text{（}i=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{，}$$n\text{）}$の個差値$t_i$は$t_i=50+{\displaystyle \frac{10(x_i-\bar{x})}{\sqrt{v}}}$によって計算される．$n=3$として，$3$人の得点が$x_1=0\text{，}$$x_2=80\text{，}$$x_3=m$（$m$は$1$以上$100$以下の整数）のとき，$0$点の人の価差値$t_1$を$m$で表すと$t_1=\text{(3)}$であり，その偏差値の最小値は$\text{(4)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　数列$\{a_n\}$は，$a_1={\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}$$a_{n+1}=a_n-(8n+4)a_n{a}_{n+1}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$をみたすとする．このとき$\{a_n\}$の一般項は$\text{(5)}$である．また，初項から第$100$項までの総和$S_{100}$は$\text{(6)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$f(x)=\sin 2x-4\sin x$$\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$とする．$t=\cos x$とおくとき$f(x)$を$t$の式で表すと$\text{(1)}$である．また，$f(x)$の最小値は$\text{(2)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　楕円$C\text{：}{\displaystyle \frac{x^2}{4}}+y^2=1$上の点$\mathrm{P}$$(\sqrt{3},{\displaystyle \frac{1}{2}})$における接線を$l$とする．このとき$l$に垂直な$C$の接線の方程式は$\text{(3)}$である．また，$l$に垂直な$C$の接線と$l$および$l$に平行な$C$の接線で囲まれる長方形の面積は$\text{(4)}$である．

【３】　$k$を整数とする．関数$f(x)=x{e}^{-x}+e^{2x-k}$について次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(ⅰ)　$y=f(x)$が極値をもたないような$k$の最大値を求めよ．

(ⅱ)　$k$が(ⅰ)の条件をみたす最大値のとき，$y=f(x)$のグラフと$x=0\text{，}$$x=1$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．