2019　福岡大学　前期文系2月3日実施

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$x={\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}}\text{，}$$y={\displaystyle \frac{\sqrt{8+2\sqrt{15}}}{2}}$のとき，$y$の二重根号をはずして$x-y$を計算すると$\text{(1)}$であり，${\displaystyle \frac{1}{x^2}}+x^2$の値を求めると$\text{(2)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　ある部品を製造する$2$つの機械$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$があり，不良品の発生する割合は，$\mathrm{A}$では$3\mathrm{\%}\text{，}$$\mathrm{B}$では$2\mathrm{\%}$である．$\mathrm{A}$で製造された部品と$\mathrm{B}$で製造された部品が$4:5$の割合で大量に混ざっている箱がある．

　この箱から部品$1$個を取り出したとき，それが不良品である確率は$\text{(3)}$である．

　また，取り出された部品$1$個が不良品であったとき，それが機械$\mathrm{B}$で製造された部品である確率は$\text{(4)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　$x$の$2$次関数$f(x)=-x^2+px+q$のグラフが点$(1,3)$を通る．このとき$q$を$p$の式で表すと$q=\text{(5)}$であり，方程式$f(x)=0$の$2$つの解を$\alpha \text{，}$$\beta$とするとき，$|\alpha -\beta |$が最小となる$p$の値は$\text{(6)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$k=\tan {\displaystyle \frac{\pi }{12}}$とする．原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円と直線$y=kx$との交点のうち第$1$象限にある点を$\mathrm{A}$とする．点$\mathrm{A}$の座標を$(p,q)$とするとき，積$pq$の値を求めると$\text{(1)}$である．また，点$(1,0)$を$\mathrm{B}\text{，}$点$\mathrm{A}$から$x$軸に下した垂線を$\mathrm{AH}$とするとき，扇形$\mathrm{OAB}$から$\mathrm{▵OAH}$を除いた部分の面積は$\text{(2)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$x\text{，}$$y$$\text{（}1<x<y\text{）}$が${({\log }_{x}y)}^2+{({\log }_{y}x)}^2={\displaystyle \frac{17}{4}}$を満たすとき，${\log }_{x}y$の値を求めると$\text{(3)}$である．

　このとき，$x\text{，}$$y$がさらに$x^2+y^2=6$を満たすときの$x$の値を求めると$\text{(4)}$である．

【３】　$f(x)=x^3-9x+16$とする．原点を通り，曲線$y=f(x)$に接する直線を$y=g(x)$とするとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　関数$g(x)$を求めよ．

(ⅱ)　関数$h(x)=f(x)-g(x)$$\text{（}x\leqq 3\text{）}$の最大値を求めよ．