2019　福岡大学　前期文系2月3日実施

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　不等式${\log }_{2}x+{\log }_2(x-1)\leqq {\log }_{2}12$をみたす$x$の値の範囲は$\text{(1)}$である．この$x$の範囲における$y={({\log }_{2}x)}^2-{\log }_2{x}^6+7$の最小値は$\text{(2)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$1$から$10$までの数を$1$つずつ書いた$10$枚のカードから，$3$枚のカードを順に引く．ただし，引いたカードはもとに戻さないものとする．このとき，$1$枚目のカードに書かれた数字が偶数である事象を$A$とし，$3$枚のカードに書かれた数字の最大値が$8$である事象を$B$とすると，事象$B$の確率$P(B)$は$\text{(3)}$であり，条件付き確率$P_B(A)$は$\text{(4)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　不等式$4x+3<2|x+1|$をみたす$x$の値の範囲は$\text{(5)}$である．また，集合$A\text{，}$$B$を$A=\{x|0<x+a\leqq 1\}\text{，}$$B=\{x|{(x-a)}^2>a\}$とするとき$A\subset B$となるような$a$の値の範囲は$\text{(6)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$\mathrm{▵OAB}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする．$\left|\overrightarrow{a}\right|=3\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=2$で，ベクトル$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$が垂直であるとき，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta$とすると$\cos \theta$の値は$\text{(1)}$である．このとき$\mathrm{▵OAB}$に外接する円の面積は$\text{(2)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　正の整数$n$に対して$x+y\leqq n$をみたす$0$以上の整数$x\text{，}$$y$の組$(x,y)$の個数を$n$を用いて表すと$\text{(3)}$である．また，正の整数$n$に対して$x+y+z\leqq 2n$をみたす$0$以上の整数$x\text{，}$$y\text{，}$$z$の組$(x,y,z)$の個数を$n$を用いて表すと$\text{(4)}$である．

【３】　関数$f(x)=e^{-2x}\sin 2x$$(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$について，次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

(ⅰ)　$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．

(ⅱ)　曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

【３】　$f(x)=x^3+3x^2-9x+4$とし，曲線$y=f(x)$を$C$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　曲線$C$上の点$(t,f(t))$における接線の方程式を求めよ．

(ⅱ)　点$(0,a)$から曲線$C$へ異なる$3$本の接線が引けるような定数$a$の値の範囲を求めよ．