2019　福岡大学　前期理学部2月4日実施

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$x^3-2=a+b(x-1)$$+c(x-1)(x+1)$$+(x-1)(x-2)(x+1)$が$x$についての恒等式になるとき，$(a,b,c)=\text{(1)}$である．また，$x$の$2$次式を$f(x)=x^2+dx+1$とする．$x$の$4$次式$f(x^2)$が$f(x)$で割り切れるとき．$d=\text{(2)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　赤玉$4$個，青玉$5$個が入っている袋から，$3$個の玉を同時に取り出すとき，少なくとも$1$個は赤玉である確率は$\text{(3)}$である．また赤玉と青玉を両方取り出す確率は$\text{(4)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　$3$点$\mathrm{A}$$(3,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(7,-4)\text{，}$$\mathrm{C}$$(5,-4)$を通る円の方程式を求めると$\text{(5)}$であり，原点を通る直線$y=mx$とこの円が共有点をもつ$m$の値の範囲は$\text{(6)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$a_1=4\text{，}$$b_1=-1$である$2$つの数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$が関係式$a_{n+1}=3a_n+b_n$および$b_{n+1}=a_n+3b_n$をみたしている．このとき，数列$\{a_n-b_n\}$の一般項は$a_n-b_n=\text{(1)}$であり，数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=\text{(2)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　不等式${\log }_x(6-x^2)\leqq 1$をみたす$x$の値の範囲は$\text{(3)}$である．

　また，連立方程式$\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{y}{x}}={\displaystyle \frac{{\log }_{10}y}{{\log }_{10}x}}\\ x^3=y^2\end{array}$の解は，$(x,y)=\text{(4)}$である．

【３】　$2$つの関数$f(x)=\sin 2x$と$g(x)={\displaystyle \frac{3}{2}}\cos x$について，次の問いに答えよ．ただし$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

(ⅰ)　$2$つの曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$の$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$における交点の$x$座標を$\alpha$とするとき，$\sin \alpha$の値を求めよ．

(ⅱ)　$2$つの曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$とで囲まれた部分の面積を求めよ．

【３】　曲線$C\text{：}y=|x(x-1)|$と直線$l\text{：}y=mx$について，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$C$と$l$が$3$つの共有点を持つ$m$の値の範囲を求めよ．

(ⅱ)　(ⅰ)のとき，$C$と$l$とで囲まれる$2$つの部分の面積の和が最小となる$m$の値を求めよ．