2019　福岡大学　前期工学部2月5日実施

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$3^x-3^{-x}=4$のとき．$3^x+3^{-x}$の値は$\text{(1)}$であり，$x$の値は$\text{(2)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$8!$を素因数分解したときの素因数$2$の個数は$\text{(3)}$である．また，$2133!$を素因数分解したときの素因数$17$の個数は$\text{(4)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲で$\cos 3\theta +2\cos \theta =0$をみたす$\theta$の値は$\text{(5)}$であり，同じ範囲で$\cos 3\theta +2\cos \theta >0$をみたす$\theta$の値の範囲は$\text{(6)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$i$を虚数単位とし，自然数$n$に対して一般項が$a_n={(1-\sqrt{3}i)}^n$で定められる数列$\{a_n\}$の第$8$項の実部の値は$\text{(1)}$であり，初項から第$10$項までの和の虚部の値は$\text{(2)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$0<\sqrt{2}a<b$とする．$xy$平面上の$3$点を$\mathrm{A}$$(a,b)\text{，}$$\mathrm{B}$$(-a,2b)\text{，}$$\mathrm{O}$$(0,0)$とする．$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を通る直線上の点$\mathrm{C}$に対し，$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$が直交するとき，点$\mathrm{C}$の$x$座標は$\text{(3)}$である．また，$a=\sqrt{2}$のとき$\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|={\displaystyle \frac{5}{2}}\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|$ならば$b=\text{(4)}$である．

【３】　自然数$n$に対して$f_n(x)={\displaystyle \frac{x^{n-1}}{x^n+1}}$とする．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　積分$S_n={\displaystyle {\int }_1^2}{f}_n(x)\mathit{dx}$の値を求めよ．

(ⅱ)　極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$の値を求めよ．