2019　福岡大学　前期文系2月6日実施

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$\sqrt{672n}$が整数となるような自然数$n$のうち最小のものを求めると$\text{(1)}$である．

　また，$9$で割ると$4$余り，$7$で割ると$1$余る$3$桁の自然数のうち最小のものは$\text{(2)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$0\leqq \theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，$\cos 2\theta -5\cos \theta +3=0$を満たす$\theta$の値は$\text{(3)}$である．

　また，$\alpha =37.5\mathrm{°}\text{，}$$\beta =7.5\mathrm{°}$のとき，$\sin \alpha \cos \beta$の値を求めると$\text{(4)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　$a$を整数とする．$2$つの放物線$C_1\text{：}y=-x^2-2(a-1)x-2a^2$と$C_2\text{：}y=x^2-2(a+1)x-1$が$2$点で交わるときの整数$a$の値をすべて求めると$\text{(5)}$となり，$a$の値がこの中で最も大きい値であるとき，$C_1$と$C_2$で囲まれる部分（境界を含む）に含まれる点で，$x$座標も$y$座標も整数である点の個数は$\text{(6)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$2$点$\mathrm{A}$$(1,2)$と$\mathrm{B}$$(-3,4)$が直線$l$に関して対称であるとき，直線$l$の方程式は$\text{(1)}$である．また，$\mathrm{C}$$(2,3)$とし，点$\mathrm{P}$が直線$l$上を動くとき，$\mathrm{AP}+\mathrm{PC}$の最小値は$\text{(2)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　放物線$y=-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+2$上の点$(1,{\displaystyle \frac{3}{2}})$における接線$l$の方程式は$\text{(3)}$であり，この放物線と接線$l$と$x$軸とで囲まれる部分の面積は$\text{(4)}$である．

【３】　円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=3\text{，}$$\mathrm{BC}=\mathrm{CD}=7\text{，}$$\mathrm{DA}=5$である．このとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$\mathrm{BD}$の長さを求めよ．

(ⅱ)　$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{O}$とし，$\mathrm{\angle AOB}=\theta$とおくとき，$\sin \theta$の値を求めよ．