2019　福岡大学　前期工学部2月6日実施

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$\mathrm{▵ABC}$において頂点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$に向かい合う辺$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CA}\text{，}$$\mathrm{AB}$の長さを，それぞれ$a\text{，}$$b\text{，}$$c$で表し，$\mathrm{\angle A}\text{，}$$\mathrm{\angle B}\text{，}$$\mathrm{\angle C}$の大きさをそれぞれ$A\text{，}$$B\text{，}$$C$で表す．${\displaystyle \frac{\cos A}{\cos B}}={\displaystyle \frac{a}{b}}\text{，}$$C={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$が成立するとき，$\mathrm{▵ABC}$の面積を$a$を用いて表すと$\text{(1)}$となる．また，$a=6$のとき，$\mathrm{▵ABC}$の外接円の半径$R$は$\text{(2)}$となる．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　連立不等式$\{\begin{array}{l}y\geqq x|x-4|\\ y\leqq -{(x-3)}^2+9\end{array}$の表す領域を$D$とする．点$(x,y)$が領域$D$を動くとき，$x$の最大値は$\text{(3)}$であり，$y-5x$の最小値は$\text{(4)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　正十八角形の対角線の数は$\text{(5)}$である．また，正十八角形の頂点から相異なる$3$点を選んで三角形を作るとき，二等辺三角形となるような個数は$\text{(6)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　複素数$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$を表す複素数平面上の点をそれぞれ$\mathrm{A}(\alpha )\text{，}$$\mathrm{B}(\beta )\text{．}$$\mathrm{C}(\gamma )$とする．$\mathrm{▵ABC}$が正三角形で，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$が反時計まわりに並んでいるとき，${\displaystyle \frac{\gamma -\alpha }{\beta -\alpha }}=\text{(1)}$である．このとき$\alpha =2\text{，}$$\gamma =0$とすると，$\beta =\text{(2)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$a_1=4\text{，}$$a_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}}{a}_n-2n+1$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$によって定められる数列$\{a_n\}$に対して，$b_n=a_{n+1}-a_n$とおく．このとき，数列$\{b_n\}$の一般項は$b_n=\text{(3)}$である．これより，数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=\text{(4)}$である．

【３】　$x>0$とする．$f(x)=2-x\log x-x+2\log x$について，次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数とする．

(ⅰ)　$f(x)=0$となる$x$の値を求めよ．

(ⅱ)　$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．