2019　福岡大学　前期理系2月11日実施

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$\mathrm{▵ABC}$において，$\mathrm{AB}=6\text{，}$$\mathrm{AC}=10\text{，}$$A=60\mathrm{°}$とする．$\mathrm{▵ABC}$の外心を点$\mathrm{O}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{AO}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\text{(1)}$であり，$\overrightarrow{\mathrm{AO}}=s\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{AC}}$とすると$(s,t)=\text{(2)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$x>1$とし，$f(x)=2{\log }_{\frac{1}{2}}x-6{\log }_{x}2$とする．$f(x)<-7$をみたす$x$の範囲は$\text{(3)}$である．$x$が$4^{x-2}-5\cdot 2^{x-2}\leqq -4$をみたすとき，$f(x)$の最小値は，$\text{(4)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　${(a+b+c)}^{10}$の展開式における$a^3{b}^3{c}^4$の係数は$\text{(5)}$であり，${(x^3-x^2+1)}^{10}$の展開式における$x^{15}$の係数は$\text{(6)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$\alpha +\beta ={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$のとき$(1+\tan \alpha )(1+\tan \beta )=\text{(1)}$である．

　また．$(1+\tan {\displaystyle \frac{\pi }{40}})\times (1+\tan {\displaystyle \frac{2\pi }{40}})\times (1+\tan {\displaystyle \frac{3\pi }{40}})$$\times \cdots \times (1+\tan {\displaystyle \frac{10\pi }{40}})$の値を求めると$\text{(2)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$x^2+(2+k)x+y^2-2ky-k=0$が表す曲線$C$は$k$の値をいろいろ変化させても定点を通る．この定点をすべて求めると$\text{(3)}$である．これらの定点のうち，点$(0,0)$からの距離が最小の点を$\mathrm{P}$とする．曲線$C$の点$\mathrm{P}$における接線が点$(0,0)$を通るときの$k$の値は$\text{(4)}$である．

【３】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{e^{-\sqrt{x}}}{x-2}}$について，次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(ⅰ)　$f(x)$の極値を求めよ．

(ⅱ)　曲線$y=f(x)$と直線$y=k$が$2$個の共有点を持つとき，定数$k$のとりうる値の範囲を求めよ．

【３】　$3$次関数$f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$が$x={\displaystyle \frac{2}{3}}\text{，}$$x={\displaystyle \frac{4}{3}}$でそれぞれ極値をとる．このとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　方程式$f(x)-f\left({\displaystyle \frac{4}{3}}\right)=0$の解を求めよ．

(ⅱ)　曲線$y=f(x)$を$x$軸方向に$-1\text{，}$$y$軸方向に$-1$だけ平行移動させた曲線$y=g(x)$が$g(-x)=-g(x)$をみたし，さらに点$(0,0)$における接線が$y=9x$であるとき，関数$f(x)$の極大値，極小値を求めよ．