2019　福岡大学　後期理，工学部

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$5$個の数字$0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4$の中の異なる$4$個を用いてできる$4$桁の整数全体の集合を$A$とする．集合$A$のなかで$4$の倍数は$\text{(1)}$個ある．また，集合$A$の要素を小さい順に並べたとき，$80$番目の数は$\text{(2)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$x^2+y^2=4$と直線$x-y+2=0$の交点と点$\mathrm{P}$$(1,1)$を通る円の方程式は$\text{(3)}$である．また，$2$点$\mathrm{A}$$(0,2)\text{，}$$\mathrm{B}$$(2,0)$について，$\mathrm{AQ}:\mathrm{QB}=2:1$をみたす点$\mathrm{Q}$の軌跡の方程式は$\text{(4)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　台形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{BC}=\mathrm{DA}\text{，}$$\mathrm{\angle DAB}$と$\mathrm{\angle CBA}$は鋭角，$\mathrm{AB}$と$\mathrm{CD}$は平行とする．$a=\mathrm{CD}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AD}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{DC}}=n$とおくとき，$\mathrm{AB}$を$a$と$n$を用いて表すと$\mathrm{AB}=\text{(5)}$である．また，$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AD}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{DC}}\text{，}$$a\text{，}$$n$で表すと$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\text{(6)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅳ)　$0<a<1$とする．不等式$a^{2x-3}-a^{x-2}-a^{x+2}+a^3\leqq 0$をみたす$x$の値の範囲は$\text{(7)}$である．$x$がこの範囲にあり，さらに$x>1$で${\log }_{2}x+{\log }_{4}y=3$であるとき，${\log }_{x}2+{\log }_{y}4$の最小値は$\text{(8)}$である．

【２】　関数$y={\sin }^{3}x$$\text{（}0<x<\pi \text{）}$の$2$つの変曲点の$x$座標を$\alpha \text{，}$$\beta$$\text{（}0<\alpha <\beta <\pi \text{）}$とするとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$\cos \alpha \text{，}$$\cos \beta$の値を求めよ．

(ⅱ)　曲線$y={\sin }^{3}x\text{，}$$x$軸および$2$つの直線$x=\alpha \text{，}$$x=\beta$で囲まれた部分の面積を求めよ．

【２】　関数$f(x)=x^2+x+2-|x+2|$について，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$x=a$$\text{（}a<-2\text{）}$における$y=f(x)$の接線$l$が$x=b$$\text{（}-2<b\text{）}$における接線と一致するとき，$a\text{，}$$b$と接線の方程式を求めよ．

(ⅱ)　曲線$y=f(x)$と(ⅰ)で求めた接線$l$で囲まれた部分の面積を求めよ．