2020　関西学院大　文学部個別日程2月3日実施

(1)　$k$を整数とし，$f(x)=x^2-(2k-1)x+k-1$とする．方程式$f(x)=0$の$2$つの解を$\alpha \text{，}$$\beta$$\text{（}\alpha <\beta \text{）}$とおくと，${(\beta -\alpha )}^2$は$k$を用いて${(\beta -\alpha )}^2=\text{ア}$と表すことができる．$\alpha <n<\beta$を満たす整数$n$がちょうど$2$つあるような$k$の値は$\text{イ}$と$\text{ウ}$である．ただし，$\text{イ}<\text{ウ}$とする．

(2)　$1$個のサイコロを繰り返し投げ，出た目の数を加えていく．その合計が$5$以上になったところで投げることを終了する．終了するまでにサイコロを投げる回数を$X$とするとき，$X=1$である確率は$\text{エ}$であり，$X=2$である確率は$\text{オ}$であり，$X=4$である確率は$\text{カ}$である．また，$X\geqq 3$であったとき，$X=4$である条件付き確率は$\text{キ}$である．ただし，$\text{エ}\text{，}$$\text{オ}\text{，}$$\text{カ}\text{，}$$\text{キ}$はすべて既約分数で答えよ．

(1)　$xy$平面上に点$\mathrm{A}$$(4,0)$と直線$l\text{：}y=2x$をとる．$xy$平面上の$l$上にない点$\mathrm{P}$$(a,b)$から直線$l$に下ろした垂線を$\mathrm{PQ}$とすると，点$\mathrm{Q}$の$x$座標は$\text{ア}$である．点$\mathrm{P}$から直線$l$までの距離と線分$\mathrm{PA}$の長さの比が$1:\sqrt{5}$であるとき，$b$を$a$の式で表すと$b=\text{イ}$である．このとき点$\mathrm{Q}$の座標が$(1,2)$であるならば，点$\mathrm{P}$の座標$(a,b)$は$(a,b)=\text{ウ}$または$\text{エ}$である．ただし，$\text{ウ}$は第一象限にあるものとする．

(2)　関数$f_n(x)$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$を

$f_1(x)=2x+1\text{，}$$f_{n+1}(x)=f_1(x)+{\displaystyle \frac{1}{3}}{\displaystyle {\int }_0^1}{f}_n(x)\mathit{dx}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

によって定め，

$a_n={\displaystyle {\int }_0^1}{f}_n(x)\mathit{dx}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

とおく．$a_1$の値を求めると$a_1=\text{オ}$である．また，$a_{n+1}$を$a_n$を用いて表すと$a_{n+1}=\text{カ}$である．さらに$a_n$を$n$を用いて表すと$a_n=\text{キ}$である．

(1)　$x<1$における関数$f(x)$の極値を求めよ．

(2)　$g(2)$の値を求めよ．

(3)　$g(t)=1$を満たす実数$t$の個数は$1$個であることを，$g(t)$の増減を調べることにより示せ．