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2021-10601-0201
2021 神戸大学 後期
理科系
配点30点
易□ 並□ 難□
【1】 整数を係数とする整式 f⁡( x) に関する条件「すべての整数 n について f⁡( n) は 5 の倍数となる」を P とする.以下の問に答えよ.
(1) f⁡(x )= x5 -5⁢ x3+ 4⁢x とする. f⁡(x ) を因数分解せよ,また f⁡( x) は条件 P をみたすことを示せ.
(2) f⁡(x )=x4 +a⁢x3 +b⁢x2 +c⁢x+d ( a , b, c, d は整数)とする.整式 g1 ⁡(x ), g2⁡( x), g3⁡( x), g4⁡( x) を
g1⁡( x)=f⁡ (x+1 )-f⁡( x),
gi+1 ⁡(x) =gi⁡( x+1)- gi⁡( x) (i= 1,2 ,3 )
により定める. g1⁡( x), g2⁡( x), g3⁡( x), g4⁡( x) を求めよ.
(3) 整数を係数とする 4 次式 f⁡( x) で x4 の係数が 1 であるものは条件 P をみたさないことを示せ.
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【2】 a, b を 4 以上の整数とする. a 個の赤球と b 個の白球が入っている袋から k 個の球を同時に取り出すとき,取り出された球がすべて同じ色である確率を pk とする.以下の問に答えよ.
(1) n=a+b , s=a⁢b とする. 1-p2 , 1-p3 を n , s を用いて表せ.
(2) p2= 12 とする.
(ⅰ) p3 を求めよ.
(ⅱ) p4 と 1 8 の大小を比較せよ.
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【3】 以下の問に答えよ.
(1) 空間内に点 O と, O を通らない平面 α がある. α 上にある点 P 1, P2 , ⋯, Pn と実数 x1 , x2 , ⋯, xn (n≧ 2) が
x1⁢ OP1 →+x 2⁢O P2→ +⋯+xn ⁢O Pn→ =0→
をみたすとき, x1+x2 +⋯+xn =0 が成り立つことを示せ.
(2) O を頂点とし,正六角形 A 1A2 A3 A4A 5A6 を底面とする六角 錐すい がある. 0<ti< 1 をみたす実数 ti (i= 1, 2, ⋯, 6) に対して,辺 O Ai を ti: (1-ti ) に内分する点を Pi とする.このとき点 P 1, P2 , ⋯, P6 が同一平面上にあるならば,次の等式が成り立つことを示せ.
(ⅰ) 1t1 +1 t3+ 1t5 =1 t2+ 1t4 +1 t6
(ⅱ) 1t1 +1 t4= 1t2 +1 t5= 1t3 +1 t6
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【4】 a を実数とする. x の 2 次方程式 x2 +(a+1 )⁢x+a 2-1=0 について,以下の問に答えよ.
(1) この 2 次方程式が異なる 2 つの実数解をもつような a の値の範囲を求めよ.
(2) a を(1)で求めた範囲で動かすとき,この 2 次方程式の実数解がとりうる値の範囲を求めよ.
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【5】 関数
f(x) =∫- 1x dtt2 -t+1 +∫x 1 dtt2+ t+1
の最小値を求めよ.