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【1】 次の(1),(2),(3)においては,内のつのカタカナにからまでの数字がつあてはまる.その数字を解答用マークシートにマークしなさい.与えられた枠数より少ない桁の数があてはまる場合は,上位の桁をとして,右に詰めた数値としなさい.分数は既約分数とし,値が整数の場合は分母をとしなさい.根号を含む形で解答する場合は,根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えなさい.
(1) 複素数を,とおく.また,複素数平面上でを満たす複素数を考える.このような複素数のうち,偏角が最大となるものを偏角が最小となるものをとする.ただし,は虚数単位とする.以下の問いに答えなさい.
(a)
である.
また,の偏角はであり,の偏角はである.
ただし,これらの偏角は以上未満の値とする.
(b) を満たす自然数のうち,が純虚数となるようなの個数は,個である.
(c) を満たす複素数のうち,が純虚数となるようなの個数は個である.
【1】 次の(1),(2),(3)においては,内のつのカタカナにからまでの数字がつあてはまる.その数字を解答用マークシートにマークしなさい.与えられた枠数より少ない桁の数があてはまる場合は,上位の桁をとして,右に詰めた数値としなさい.分数は既約分数とし,値が整数の場合は分母をとしなさい.根号を含む形で解答する場合は,根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えなさい.
(a) 赤い玉と白い玉が個ずつ入った袋において,以下の試行を繰り返す.
袋から玉を個取り出し,色を調べてから袋に戻す.そして,
・取り出した玉の色が赤であった場合,白い玉を個
・取り出した玉の色が白であった場合,赤い玉を個
袋に追加する.
例えば,回目の試行において取り出した玉の色が赤であったとき,回目の試行後,袋に赤い玉が個と白い玉が個入っていることになる.
以下の確率を求めなさい.
回目の試行後,袋に入っている赤い玉の個数がちょうど個である確率は
である.
回目の試行後,袋に入っている赤い玉の個数が個以下である確率は
である.
(b) 赤い玉と白い玉が個ずつ入った袋において,以下の試行を繰り返す.
袋から同時に個の玉を取り出し,色を調べてから袋に戻す.そして,
・取り出した個の玉の色がともに赤であった場合,白い玉を個
・取り出した個の玉の色が赤と白であった場合,赤い玉と白い玉を個ずつ
・取り出した個の玉の色がともに白であった場合,赤い玉を個
袋に追加する.
以下の確率を求めなさい.
回目の試行後,袋に入っている赤い玉の個数がちょうど個である確率は
である.
回目の試行後,袋に入っている赤い玉の個数が個以上かつ個以下である確率は
である.
【2】 以下の問いに答えなさい.ただし,空欄については適切な数または式を解答用紙の所定の欄に記入しなさい.なお,座標平面で座標,座標がともに整数である点を格子点という.
(1) を自然数とする.がつの不等式
を満たす格子点の個数をとする.
(a) であり,である.
(b) を用いてを表すとである.
(2) を自然数とする.の連立不等式
が表す座標平面上の領域をとする.
(a) 領域は点を頂点とする四角形の周および内部である.を用いてを表すとである.ただし,とする.
(b) 領域の面積をを用いて表すとである.
(c) 領域に含まれる格子点の個数をとする.を用いてを表すとである.なお,を導く過程も解答用紙の所定の場所に書きなさい.
【3】 以下の問いに答えなさい.ただし,空欄については適切な数または式を解答用紙の所定の欄に記入しなさい.
(1) 原点をとする座標平面において,媒介変数によって表された曲線
について,以下の問いに答えなさい.
(1) となるの値は小さい方からである.また傾きがとなる曲線の接線はつあり,それらの方程式は
である.ただしとする.
点を曲線上にとる.から直線へ垂線を下ろし,を半径とする円の面積をとする.ただし,が直線上にあるときとは同一点でありとする.また,(1)で求めたつの接線において,座標が負の接点をとして,の長さをとする.ただし,とが一致するときはとする.
(2) の座標をとする.を用いてとを表すと
である.
(3) 曲線によって囲まれた部分を直線の周りに回転させてできる立体の体積を求めることを考える.はをについて積分すれば得られるが,置換積分法によってをについて積分しても計算できる.これよりとなる.なお,を導く過程も所定の場所に書きなさい.