2021　関西学院大　理系関学独自入試2月5日実施

【１】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$1$個のさいころを$2$回続けて投げ，$1$回目に出た目を$X\text{，}$$2$回目に出た目を$Y$とする．このとき，$X=Y$となる確率は$\text{ア}$であり，$X<Y$となる確率は$\text{イ}$である．また，$X$と$Y$の積$XY$が奇数になる確率は$\text{ウ}$である．

【１】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　関数$y={\sin }^{2}x-2\sqrt{3}\sin x\cos x+3{\cos }^{2}x-3\sin x+3\sqrt{3}\cos x$$\text{（}0\leqq x\leqq 2\pi \text{）}$について，$t=\sin x-\sqrt{3}\cos x$とおいて，$y$を$t$を用いて表すと，$y=\text{エ}$である．関数$y$の最小値は$\text{オ}$である．また関数$y$の最大値は$\text{カ}$であり，そのときの$x$の値は$x=\text{キ}$である．

【１】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(3)　$x$を$x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}}=\sqrt{5}$を満たす$1$より大きい実数とする．このとき，$x+x^{-1}=\text{ク}$であり，$x^{\frac{3}{2}}+x^{-\frac{3}{2}}=\text{ケ}$である．また，$x^{\frac{1}{2}}-x^{-\frac{1}{2}}=\text{コ}$である．

【２】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

　$\mathrm{O}$を原点とする平面上の点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の位置ベクトルをそれぞれ$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$とする．$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$は

$\left|\overrightarrow{a}\right|=3\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=5\text{，}$$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=7$

を満たすとする．また線分$\mathrm{OA}$上の点$\mathrm{C}$と線分$\mathrm{OB}$上の点$\mathrm{D}$を結ぶ線分$\mathrm{CD}$上に三角形$\mathrm{OAB}$の重心$\mathrm{G}$があり，$\mathrm{CG}:\mathrm{GD}=3:2$を満たしている．線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とし，直線$\mathrm{CM}$と直線$\mathrm{OB}$の交点を$\mathrm{E}$とする．点$\mathrm{A}$を通り直線$\mathrm{OA}$に垂直な直線と直線$\mathrm{CM}$の交点を$\mathrm{F}$とする．

　$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積は$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\text{ア}$であり，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角$\theta$は$\theta =\text{イ}$である．また，線分$\mathrm{AB}$の長さは$\text{ウ}$であり，三角形$\mathrm{OAB}$の面積は$\text{エ}$である．

　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OG}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OD}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OM}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OE}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表すと，

$\overrightarrow{\mathrm{OG}}=\text{オ}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\text{カ}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\text{キ}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OM}}=\text{ク}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=\text{ケ}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OF}}=\text{コ}$

である．

【３】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

　自然数の列$1,2,3,\cdots$を，次のような群に分ける．ただし第$n$群には$n$個の数が入るものとする．

$\begin{array}{ccccccc}1& |& 2,3& |& 4,5,6& |& 7\cdots \\ \text{第}1\text{群}& & \text{第}2\text{群}& & \text{第}3\text{群}& & \end{array}$

自然数$n$に対して，第$n$群の最後の数を$a_n$とする．

(1)　$a_1=1\text{，}$$a_2=3\text{，}$$a_3=6\text{，}$$a_4=\text{ア}\text{，}$$a_5=\text{イ}$である．

(2)　$a_{n+1}-a_n$を$n$の式で表すと$a_{n+1}-a_n=\text{ウ}$であり，数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=\text{エ}$である．

(3)　第$200$群の$100$番目の数は$\text{オ}$である．また，$1000$は第$\text{カ}$群の$\text{キ}$番目の数である．

(4)　第$n$群にあるすべての数の和は$\text{ク}$である．

(5)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{a_k}}=\text{ケ}$である．また，${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{a_n}}=\text{コ}$である．

【４】　$a$を実数の定数とする．関数$f(x)$と$g(x)$を，

$f(x)=\sin 2x\text{，}$$g(x)=a\cos x$

とし，曲線$C_1$と$C_2$を，

$C_1\text{：}y=f(x)$$(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})\text{，}$$C_2\text{：}y=g(x)$$(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　点$({\displaystyle \frac{\pi }{3}},f({\displaystyle \frac{\pi }{3}}\left)\right)$における曲線$C_1$の接線の方程式を求めよ．

(2)　$a=1$のとき，曲線$C_1\text{，}$$C_2$と$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

(3)　曲線$C_1$と$C_2$が異なる$2$個の共有点$\mathrm{P}$$({\displaystyle \frac{\pi }{2}},0)$と$\mathrm{Q}$をもつような$a$の値の範囲を求めよ．また，点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$t$とするとき，$\sin t$を$a$を用いて表せ．

(4)　$a$が(3)で求めた範囲にあるとき，曲線$C_1\text{，}$$C_2$と$y$軸で囲まれた部分の面積$S\text{，}$曲線$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積$T$をそれぞれ$a$を用いて表せ．また，$2S=T$となるとき$a$の値を求めよ．