2021　福岡大学　前期文系2月11日実施

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　放物線$C\text{：}y=2x^2+ax+b$が点$(1,2)$を通るとき，$b$を$a$の式で表すと，$b=\text{(1)}$である．さらに，放物線$C$が$x<0$で$x$軸と交わるような$a$の値の範囲は$\text{(2)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$324$以下の自然数のうち，$324$と互いに素であるものの個数を求めると$\text{(3)}$個である．また，$5$で割ると$4$余るが，$11$で割ると$1$余る$3$桁の自然数で最大のものは$\text{(4)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　$0\leqq x<2\pi$とする．関数$y=\cos 2x-2\sin x$は$x=\text{(5)}$のとき最大値をとる．また，不等式$\cos 2x-2\sin x<-{\displaystyle \frac{1}{2}}$をみたす$x$の値の範囲は$\text{(6)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　あるクラスでテストを行ったところ，平均は$55\text{，}$分散は$40$であった．このとき，各点数を$1.5$倍した点数の分散は$\text{(1)}$である．また，各点数から$50$を引いた点数を$2$乗したものの平均は$\text{(2)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$x+{\displaystyle \frac{4}{x}}=X$とおき，$y=x^2-2x+1-{\displaystyle \frac{8}{x}}+{\displaystyle \frac{16}{x^2}}$を$X$の式で表すと$\text{(3)}$である．また，$x>0$のとき，$y$の値の範囲は$\text{(4)}$である．

【３】　放物線$y=-x^2+8x-7$と$x$軸とで囲まれた部分に内接し，$1$辺が$x$軸上にある長方形について，次の問に答えよ．

(ⅰ)　長方形の横の辺の長さを$2t$$\text{（}0<t<3\text{）}$とするとき，長方形の面積$S(t)$を求めよ．

(ⅱ)　$S(t)$が最大になるときの長方形の横の辺の長さと縦の辺の長さ，および最大値を求めよ．