2021　福岡大学　推薦医学部医学科

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$n$が自然数のとき，$\sqrt{n^2-4n+15}$が自然数となるすべての$n$を求めると$\text{(1)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　四面体$\mathrm{OABC}$が$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=1\text{，}$$\mathrm{OC}=2\text{，}$$\mathrm{\angle AOB}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$をみたすとする．辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{H}\text{，}$線分$\mathrm{AH}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{I}$とする．直線$\mathrm{OI}$が$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を通る平面と垂直に交わるとき，$\mathrm{▵ABC}$の面積は$\text{(2)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　定数$a\text{，}$$b$が$\underset{x\to 3}{\lim }{\displaystyle \frac{\sqrt{4x+a}-b}{x-3}}={\displaystyle \frac{2}{5}}$をみたすとき，$(a,b)=\text{(3)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅳ)　$a$を実数とする．$z=2+ai$とするとき，複素数平面上で複素数${\displaystyle \frac{1-i}{z+i}}$が表す点を$\mathrm{P}$とする．このとき，点$\mathrm{P}$からの距離が$a$によらずに一定となる点を表す複素数は$\text{(4)}$である．ただし，$i$は虚数単位とする．

【２】　曲線$C\text{：}y={\displaystyle \frac{4x}{4x^2+7}}$$\text{（}x>0\text{）}$について次の問に答えよ．

(ⅰ)　$a>0$とする．曲線$C\text{，}$$x$軸，直線$x=a$および直線$x=a+1$とで囲まれる部分の面積$S(a)$を求めよ．

(ⅱ)　$S(a)$の最大値と，その最大値を与える$a$の値を求めよ．