2022　京都大学　前期

【１】　$5.4<{\log }_{4}2022<5.5$であることを示せ．ただし，$0.301<{\log }_{10}2<0.3011$であることは用いてよい．

【２】　右図の三角柱$\mathrm{ABC‐DEF}$において，$\mathrm{A}$を始点として，辺に沿って頂点を$n$回移動する．すなわち，この移動経路

${\mathrm{P}}_0\to {\mathrm{P}}_1\to {\mathrm{P}}_2\to \cdots \to {\mathrm{P}}_{n-1}\to {\mathrm{P}}_n$（ただし${\mathrm{P}}_0=\mathrm{A}\text{）}$

において，${\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2\text{，}\cdots \text{，}$${\mathrm{P}}_{n-1}{\mathrm{P}}_n$はすべて辺であるとする．また，同じ頂点を何度通ってもよいものとする．このような移動経路で，終点${\mathrm{P}}_n$が$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$のいずれかとなるものの総数$a_n$を求めよ．

【３】　$xy$平面上の$2$直線$L_1\text{，}$$L_2$は直交し，交点の$x$座標は${\displaystyle \frac{3}{2}}$である．また，$L_1\text{，}$$L_2$はともに曲線$C\text{：}y={\displaystyle \frac{x^2}{4}}$に接している．このとき，$L_1\text{，}$$L_2$および$C$で囲まれる図形の面積を求めよ．

【４】　$a\text{，}$$b$を正の実数とする．直線$L\text{：}ax+by=1$と曲線$y=-{\displaystyle \frac{1}{x}}$との$2$つの交点のうち，$y$座標が正のものを$\mathrm{P}\text{，}$負のものを$\mathrm{Q}$とする．また，$L$と$x$軸との交点を$\mathrm{R}$とし，$L$と$y$軸との交点を$\mathrm{S}$とする．$a\text{，}$$b$が条件

${\displaystyle \frac{\mathrm{OQ}}{\mathrm{RS}}}=2$

を満たしながら動くとき，線分$\mathrm{PQ}$の中点の軌跡を求めよ．

【５】　四面体$\mathrm{OABC}$が

$\mathrm{OA}=4\text{，}$$\mathrm{OB}=\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=3\text{，}$$\mathrm{OC}=\mathrm{AC}=2\sqrt{3}$

を満たしているとする．$\mathrm{P}$を辺$\mathrm{BC}$上の点とし，$\mathrm{▵OAP}$の重心を$\mathrm{G}$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{PG}}\perp \overrightarrow{\mathrm{OA}}$を示せ．

(2)　$\mathrm{P}$が辺$\mathrm{BC}$上を動くとき，$\mathrm{PG}$の最小値を求めよ．

【２】　箱の中に$1$から$n$までの番号がついた$n$枚の札がある．ただし$n\geqq 5$とし，同じ番号の札はないとする．この箱から$3$枚の札を同時に取り出し，札の番号を小さい順に$X\text{，}$$Y\text{，}$$Z$とする．このとき，$Y-X\geqq 2$かつ$Z-Y\geqq 2$となる確率を求めよ．

【３】　$n$を自然数とする．$3$つの整数$n^2+2\text{，}$$n^4+2\text{，}$$n^6+2$の最大公約数$A_n$を求めよ．

【５】　曲線$C\text{：}y={\cos }^{3}x$$(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})\text{，}$$x$軸および$y$軸で囲まれる図形の面積を$S$とする．$0<t<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とし，$C$上の点$\mathrm{Q}$$(t,{\cos }^{3}t)$と原点$\mathrm{O}\text{，}$および$\mathrm{P}$$(t,0)\text{，}$$\mathrm{R}$$(0,{\cos }^{3}t)$を頂点にもつ長方形$\mathrm{OPQR}$の面積を$f(t)$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$S$を求めよ．

(2)　$f(t)$は最大値をただ$1$つの$t$でとることを示せ．そのときの$t$を$\alpha$とすると，$f(\alpha )={\displaystyle \frac{{\cos }^4\alpha }{3\sin \alpha }}$であることを示せ．

(3)　${\displaystyle \frac{f(\alpha )}{S}}<{\displaystyle \frac{9}{16}}$を示せ．

【６】　数列$\{x_n\}\text{，}$$\{y_n\}$を次の式

$x_1=0\text{，}$$x_{n+1}=x_n+n+2\cos \left({\displaystyle \frac{2\pi x_n}{3}}\right)$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

$y_{3m+1}=3m\text{，}$$y_{3m+2}=3m+2\text{，}$$y_{3m+3}=3m+4$$\text{（}m=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

により定める．このとき，数列$\{x_n-y_n\}$の一般項を求めよ．