2022　京都大学　特色入試総合人間学部

【１】　$a$を正の定数とする．$a$に対し直線$y=-ax+1$を$l_a$とする．また，正の数$b\text{，}$$c$に対し曲線$y=-b{x}^3+cx$を$C_{b,c}$とする．曲線$C_{b,c}$で，第$1$象限で直線$l_a$に接するものを考える．そのような$C_{b,c}$と$x$軸の$x\geqq 0$の部分とで囲まれる図形の面積の最大値$S(a)$を求めよ．

【２】　$p$を素数とし，$n$を，$n\leqq p+1$を満たす自然数とする．このとき，方程式

$x^3-nx-p=0$

の実数解で，無理数であるものの個数を求めよ．ただし$2$重解または$3$重解は$1$個の解とみなす．