2022　関西学院大　理系学部全学日程2月2日実施

【１】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$1$から$8$までの数字がそれぞれ$1$つずつ書かれた$8$枚のカードを$4$枚ずつ$2$つの組に分ける分け方は$\text{ア}$通りある．このうち$1$番と$2$番のカードが別の組に分かれる分け方は$\text{イ}$通りある．

【１】　　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　$x=2{\log }_2(\sqrt{2}-1)$のとき，$2^x=\text{ウ}$である．また，$2^x+2^{-x}=\text{エ}$である．

【１】　　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(3)　$k$を正の実数とする．円$C\text{：}{x}^2+y^2-2kx+2ky+k^2=0$の半径は$\text{オ}$である．$k$がすべての正の実数値をとって変化するとき，円$C$の中心は直線$y=\text{カ}$上を動く．円$C$が不等式$\{x-y)(x+y-2)<0$の表す領域に含まれるとき，$k$のとりうる値の範囲は$0<k<\text{キ}$である．

【１】　　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(4)　$\alpha \text{，}$$\beta$は$\alpha <\beta$かつ$\alpha +\beta =9$を満たす実数とする．${\alpha }^3+{\beta }^3$を$\alpha \beta$を用いて表すと，${\alpha }^3+{\beta }^3=\text{ク}$である．さらに$\alpha \text{，}$$\beta$が${\alpha }^3+{\beta }^3=189$を満たすとき，$\alpha \beta$の値は$\alpha \beta =\text{ケ}$である．したがって，$\alpha <\beta \text{，}$$\alpha +\beta =9\text{，}$${\alpha }^3+{\beta }^3=189$を満たす$\alpha \text{，}$$\beta$の値の組は，$(\alpha ,\beta )=\text{コ}$である．

【２】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

　関数$f(x)=x\sqrt{1-x^2}$について曲線$y=f(x)$$\text{（}0\leqq x\leqq 1\text{）}$を$C$とする．

　$f^{\prime }(x)=\text{ア}$である．$f^{\prime }\left({\displaystyle \frac{3}{5}}\right)=\text{イ}$より，曲線$C$上の点$({\displaystyle \frac{3}{5}},f({\displaystyle \frac{3}{5}}\left)\right)$における接線の方程式は$y=\text{ウ}$である．また，関数$y=f(x)$$\text{（}0\leqq x\leqq 1\text{）}$は$x=\text{エ}$のとき最大値$\text{オ}$をとる．曲線$C$と$x$軸で囲まれた部分の面積は$\text{カ}$である．

　$a$を実数の定数とし，直線$y=ax$を$l$とする．直線$l$と曲線$C$が原点以外の共有点をもつような$a$の値の範囲は$\text{キ}$であり，このとき原点以外の共有点の$x$密機を$a$で表すと$\text{ク}$である．$a$が$\text{キ}$を満たすとき，直線$l$と曲線$C$で囲まれた部分の面積$S$を$a$を用いて表すと$S=\text{ケ}$である．$S={\displaystyle \frac{5}{48}}$を満たすような$a$の値は$a=\text{コ}$である．

【３】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

　三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AC}=1\text{，}$$\mathrm{\angle ABC}=\theta \text{，}$$\mathrm{\angle ACB}=3\theta$とする．

　$\theta$のとりうる値の範囲は$\text{ア}$である，点$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{BC}$に下ろした垂線と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{H}$とするとき，線分$\mathrm{AH}$の長さを$\theta$を用いて表すと，$\mathrm{AH}=\text{イ}$である．線分$\mathrm{AH}$の長さは$\theta =\text{ウ}$のとき最大値$\text{エ}$をとる．

　線分$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{BC}$の長さを$\theta$を用いて表すと，$\mathrm{AB}=\text{オ}\text{，}$$\mathrm{BC}=\text{カ}$である．$t=\cos \theta$とおくと，$\text{ア}$より，$t$の値のとりうる範囲は$\text{キ}$である．線分$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{BC}$の長さを$t$を用いて表すと，$\mathrm{AB}=\text{ク}\text{，}$$\mathrm{BC}=\text{ケ}$である．三角形$\mathrm{ABC}$の周の長さ$L$のとりうる値の範囲は$\text{コ}$である．

【４】　$1$辺の長さが$3$の正三角形$\mathrm{ABC}$を底面とし，高さが$2\sqrt{6}$で$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}$である四面体$\mathrm{OABC}$がある．辺$\mathrm{OA}$を$1:1$に内分する点を$\mathrm{P}$とし，辺$\mathrm{OB}\text{，}$辺$\mathrm{OC}$を$2:1$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$とする．また，正三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とし，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．また，内接$\overrightarrow{\mathrm{AG}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OG}}$の値を求めよ．ただし，内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}$の値が等しいことを用いてよい．

(2)　辺$\mathrm{OA}$の長さと内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$の値を求めよ．

(3)　内積$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PR}}$の値を求めよ．

(4)　$\mathrm{\angle QPR}=\theta$とする．このとき，$\cos \theta$の値と三角形$\mathrm{PQR}$の面積を求めよ．また，点$\mathrm{O}$から三角形$\mathrm{PQR}$を含む平面に垂線$\mathrm{OH}$を下ろすとき，$\mathrm{OH}$の長さを求めよ．